Calcule a média arimética, a moda(Fórmula de Czuber) e a mediana(Fórmula de Czuber) das distribuições abaixo:
CUSTO (RS)
450
550
650
750
850
950
1050
1150
8
10
11
16
13
5
1,
| CUSTO (RS) | 450 |
|
550 |
|
650 |
|
750 |
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850 |
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950 |
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1050 |
|
1150 |
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|
8 | 10 | 11 | 16 | 13 | 5 | 1, |
Passo 1
O enunciado pede calcular três medidas para a distribuição agrupada dada: a média aritmética, a moda usando a fórmula de Czuber e a mediana usando a fórmula de Czuber. As informações fornecidas são as classes de custo (em R$) e as respectivas frequências absolutas
. Vou listar explicitamente as classes e as frequências para ficar claro:
Observações que vou usar ao longo da resolução (não são suposições adicionais, apenas definições que aparecem sempre nesse tipo de problema):
Passo 2
Primeiro eu encontro o total de observações
somando todas as frequências. Vou somar passo a passo para você ver:
Agora calculando:
Logo,
Passo 3
Para calcular a média aritmética de uma distribuição agrupada eu uso os pontos médios de cada classe (marcas de classe) e faço a média ponderada pelos
. Primeiro calculo os pontos médios
de cada classe:
Agora calculo os produtos
para cada classe:
Somando todos os
:
Agora somando:
Portanto,
Passo 4
Fórmula da média aritmética para dados agrupados:
onde
é a soma ponderada calculada no passo anterior e
é o total de observações.
Substituindo os valores:
Calculando a divisão:
Na prática de prova costuma-se arredondar para duas casas decimais quando pedem números práticos, então
. Vou manter, porém, o valor exato com quatro casas decimais para referência:
.
Passo 5
Agora a moda pela fórmula de Czuber. Primeiro explico a fórmula e o significado de cada símbolo (bem mastigado):
- A moda de uma distribuição agrupada (pela fórmula de Czuber) estima o valor modal dentro da classe modal (aquela com maior frequência).
- Seja a classe modal com limites
e frequência . - Seja
a frequência da classe imediatamente anterior e a frequência da classe imediatamente seguinte. - A fórmula de Czuber para a moda é:
Aqui:
= limite inferior da classe modal,
= frequência da classe modal,
= frequência da classe anterior,
= frequência da classe seguinte,
= amplitude de classe.
Passo 6
Identifico a classe modal (a de maior
). Olhando as frequências:
a maior é
, que corresponde à classe
. Portanto:
Substituo na fórmula de Czuber:
Calculo o numerador e denominador:
Logo a fração é
. Então
Portanto a moda estimada pela fórmula de Czuber é
.
Passo 7
Agora a mediana pela fórmula de Czuber (fórmula usual para dados agrupados). Vou explicar:
- A mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima.
- Para dados agrupados, localizamos a classe mediana, que é a classe onde a cumulativa ultrapassa
. - Se a classe mediana tem limite inferior
, frequência , e a frequência acumulada até a classe anterior for , então a fórmula é:
Aqui:
é metade do total de observações,
é a frequência acumulada antes da classe mediana,
é a frequência da classe mediana,
é a amplitude de classe.
Passo 8
Calculo
:
Agora preciso da distribuição acumulada até encontrar a classe que contém a 32ª observação:
Frequências cumulativas (passo a passo):
Vemos que ao somar até a terceira classe temos
e ao somar até a quarta classe temos
. Portanto a classe mediana é a quarta classe, isto é
.
Para essa classe:
Substituindo na fórmula da mediana:
Calculo a fração:
Então
Portanto a mediana estimada é
.
Passo 9
Resumo numérico (valores computados e arredondamentos usuais):
- Média:
(aprox. ). - Moda (Czuber):
. - Mediana (Czuber):
.
Agora deixo só as respostas finais no formato pedido.
Resposta
Média =
(aprox.
)
Moda (Czuber) =
Mediana (Czuber) =
Moda (Czuber) =
Mediana (Czuber) =