Calcule a média arimética, a moda(Fórmula de Czuber) e a mediana(Fórmula de Czuber) das distribuições abaixo:
CUSTO (RS) 450 \vdash 550 \vdash 650 \vdash 750 \vdash 850 \vdash 950 \vdash 1050 \vdash 1150
f_{i} 8 10 11 16 13 5 1,

Passo 1

O enunciado pede calcular três medidas para a distribuição agrupada dada: a média aritmética, a moda usando a fórmula de Czuber e a mediana usando a fórmula de Czuber. As informações fornecidas são as classes de custo (em R$) e as respectivas frequências absolutas f_i. Vou listar explicitamente as classes e as frequências para ficar claro:
\begin{array}{c|ccccccc} \text{Classe (R\$)} & 450\text{--}550 & 550\text{--}650 & 650\text{--}750 & 750\text{--}850 & 850\text{--}950 & 950\text{--}1050 & 1050\text{--}1150\\hline f_i & 8 & 10 & 11 & 16 & 13 & 5 & 1 \end{array}
Observações que vou usar ao longo da resolução (não são suposições adicionais, apenas definições que aparecem sempre nesse tipo de problema):
h=\text{amplitude de classe (largura)}=100.

Passo 2

Primeiro eu encontro o total de observações N somando todas as frequências. Vou somar passo a passo para você ver:
N = 8+10+11+16+13+5+1.
Agora calculando:
N = 8+10=18,
18+11=29,
29+16=45,
45+13=58,
58+5=63,
63+1=64.
Logo,
N=64.

Passo 3

Para calcular a média aritmética de uma distribuição agrupada eu uso os pontos médios de cada classe (marcas de classe) e faço a média ponderada pelos f_i. Primeiro calculo os pontos médios x_i de cada classe:
x_1 = \frac{450+550}{2}=500,
x_2 = \frac{550+650}{2}=600,
x_3 = \frac{650+750}{2}=700,
x_4 = \frac{750+850}{2}=800,
x_5 = \frac{850+950}{2}=900,
x_6 = \frac{950+1050}{2}=1000,
x_7 = \frac{1050+1150}{2}=1100.
Agora calculo os produtos f_i x_i para cada classe:
\begin{array}{c|ccccccc} x_i & 500 & 600 & 700 & 800 & 900 & 1000 & 1100\\hline f_i & 8 & 10 & 11 & 16 & 13 & 5 & 1\\hline f_i x_i & 4000 & 6000 & 7700 & 12800 & 11700 & 5000 & 1100 \end{array}
Somando todos os f_i x_i:
\sum f_i x_i = 4000+6000+7700+12800+11700+5000+1100.
Agora somando:
4000+6000=10000,
10000+7700=17700,
17700+12800=30500,
30500+11700=42200,
42200+5000=47200,
47200+1100=48300.
Portanto,
\sum f_i x_i = 48300.

Passo 4

Fórmula da média aritmética para dados agrupados:
\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N},
onde \sum f_i x_i é a soma ponderada calculada no passo anterior e N é o total de observações.
Substituindo os valores:
\bar{x} = \frac{48300}{64}.
Calculando a divisão:
\bar{x} = 754{,}6875.
Na prática de prova costuma-se arredondar para duas casas decimais quando pedem números práticos, então \bar{x}\approx 754{,}69. Vou manter, porém, o valor exato com quatro casas decimais para referência: \bar{x}=754{,}6875.

Passo 5

Agora a moda pela fórmula de Czuber. Primeiro explico a fórmula e o significado de cada símbolo (bem mastigado):
  • A moda de uma distribuição agrupada (pela fórmula de Czuber) estima o valor modal dentro da classe modal (aquela com maior frequência).
  • Seja a classe modal com limites [L_m, L_m+h) e frequência f_m.
  • Seja f_{m-1} a frequência da classe imediatamente anterior e f_{m+1} a frequência da classe imediatamente seguinte.
  • A fórmula de Czuber para a moda é:
\text{Moda} \approx L_m + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\cdot h.
Aqui:
\,L_m = limite inferior da classe modal,
\,f_m = frequência da classe modal,
\,f_{m-1} = frequência da classe anterior,
\,f_{m+1} = frequência da classe seguinte,
\,h = amplitude de classe.

Passo 6

Identifico a classe modal (a de maior f_i). Olhando as frequências:
8,\;10,\;11,\;16,\;13,\;5,\;1,
a maior é 16, que corresponde à classe 750\text{--}850. Portanto:
L_m = 750,\quad f_m = 16,\quad f_{m-1}=11,\quad f_{m+1}=13,\quad h=100.
Substituo na fórmula de Czuber:
\text{Moda} \approx 750 + \frac{16-11}{2\cdot 16 - 11 - 13}\cdot 100.
Calculo o numerador e denominador:
16-11=5,
2\cdot 16 -11 -13 =32-11-13=8.
Logo a fração é \dfrac{5}{8}=0{,}625. Então
\text{Moda} \approx 750 + 0{,}625\cdot 100 = 750 + 62{,}5 = 812{,}5.
Portanto a moda estimada pela fórmula de Czuber é \,812{,}5.

Passo 7

Agora a mediana pela fórmula de Czuber (fórmula usual para dados agrupados). Vou explicar:
  • A mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima.
  • Para dados agrupados, localizamos a classe mediana, que é a classe onde a cumulativa ultrapassa N/2.
  • Se a classe mediana tem limite inferior L_{med}, frequência f_{med}, e a frequência acumulada até a classe anterior for F_{\text{ant}}, então a fórmula é:
\text{Mediana} \approx L_{med} + \frac{\frac{N}{2}-F_{\text{ant}}}{f_{med}}\cdot h.
Aqui:
\,\frac{N}{2} é metade do total de observações,
\,F_{\text{ant}} é a frequência acumulada antes da classe mediana,
\,f_{med} é a frequência da classe mediana,
\,h é a amplitude de classe.

Passo 8

Calculo \frac{N}{2}:
\frac{N}{2}=\frac{64}{2}=32.
Agora preciso da distribuição acumulada até encontrar a classe que contém a 32ª observação:
Frequências cumulativas (passo a passo):
8,\quad 8+10=18,\quad 18+11=29,\quad 29+16=45,\\ \ldots
Vemos que ao somar até a terceira classe temos 29<32 e ao somar até a quarta classe temos 45\ge 32. Portanto a classe mediana é a quarta classe, isto é 750\text{--}850.
Para essa classe:
L_{med}=750,\quad f_{med}=16,\quad F_{\text{ant}}=29.
Substituindo na fórmula da mediana:
\text{Mediana} \approx 750 + \frac{32-29}{16}\cdot 100.
Calculo a fração:
32-29=3,\quad \frac{3}{16}=0{,}1875.
Então
\text{Mediana} \approx 750 + 0{,}1875\cdot 100 = 750 + 18{,}75 = 768{,}75.
Portanto a mediana estimada é \,768{,}75.

Passo 9

Resumo numérico (valores computados e arredondamentos usuais):
  • Média: \bar{x}=\dfrac{48300}{64}=754{,}6875 (aprox. 754{,}69).
  • Moda (Czuber): 812{,}5.
  • Mediana (Czuber): 768{,}75.
Agora deixo só as respostas finais no formato pedido.

Resposta

Média = 754{,}6875 (aprox. 754{,}69)
Moda (Czuber) = 812{,}5
Mediana (Czuber) = 768{,}75

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