Calcule a mediana e o desvio padrão do seguinte conjunto de dados (considere como população):
1,1,3,3,5,5,3,3,2,2,1,1

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de dados
1,1,3,3,5,5,3,3,2,2,1,1
e pede a mediana e o desvio padrão, tratando os dados como uma população.
O conteúdo é Estatística Descritiva: para a mediana precisamos ordenar os dados; para o desvio padrão populacional usamos a definição
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar x)^2},
onde N é o tamanho da população e \bar x a média.

Passo 2

Para achar a mediana, primeiro ordenamos em ordem não decrescente:
1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,5,5
Como N=12 é par, a mediana é a média dos elementos de índice 6 e 7:
\text{mediana} = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5.

Passo 3

Para o desvio padrão, calculamos primeiro a média populacional:
\bar x = \frac{1+1+1+1+2+2+3+3+3+3+5+5}{12} = \frac{30}{12} = 2{,}5.

Passo 4

Agora somamos os quadrados das diferenças de cada valor em relação à média. Agrupando por valor:
  • Para 1: (1-2{,}5)^2 = 2{,}25, ocorre 4 vezes, soma parcial 4 \times 2{,}25 = 9.
  • Para 2: (2-2{,}5)^2 = 0{,}25, ocorre 2 vezes, soma parcial 2 \times 0{,}25 = 0{,}5.
  • Para 3: (3-2{,}5)^2 = 0{,}25, ocorre 4 vezes, soma parcial 4 \times 0{,}25 = 1.
  • Para 5: (5-2{,}5)^2 = 6{,}25, ocorre 2 vezes, soma parcial 2 \times 6{,}25 = 12{,}5.
    Total dos quadrados:
9 + 0{,}5 + 1 + 12{,}5 = 23.
A variância populacional é
\sigma^2 = \frac{23}{12} \approx 1{,}9167.

Passo 5

O desvio padrão é a raiz da variância:
\sigma = \sqrt{\frac{23}{12}} \approx 1{,}385.

Resposta

Mediana: 2{,}5
Desvio padrão populacional: \displaystyle \sqrt{\frac{23}{12}}\approx1{,}385

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