O quadro de frequências, a seguir, refere-se às idades dos jogadores de basquete de um clube:
Qual será a mediana e a variância dos dados nesse caso?
Obs.: Perceba que neste exercício o objetivo é avaliar todos os jogadores do time de basquete. Portanto a população é conhecida.
Idade \left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right) Número de jogadores \left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)
13 6
14 12
15 15
20 24
23 9

Passo 1

O enunciado dá a distribuição completa das idades dos N jogadores de basquete do clube na forma de tabela de frequências simples e pede a mediana e a variância dessa população. Vamos usar conceitos de estatística descritiva: cálculo da mediana em dados agrupados por frequência e fórmula da variância populacional

Passo 2

Primeiro, somamos as frequências para obter o tamanho da população:
N = \sum_i f_i = 6 + 12 + 15 + 24 + 9 = 66.
Como N é par, a mediana \tilde{x} é a média dos valores nas posições N/2=33 e N/2+1=34 na lista ordenada. Montando o acumulado:
– até 13 anos: 6 jogadores
– até 14 anos: 6+12=18 jogadores
– até 15 anos: 18+15=33 jogadores
– até 20 anos: 33+24=57 jogadores
Logo, o 33º valor é 15 e o 34º valor é 20, portanto
\tilde{x} = \frac{15 + 20}{2} = 17{,}5.

Passo 3

Para a variância populacional precisamos da média
\mu = \frac{1}{N}\sum_i x_i f_i =\frac{13\cdot6 + 14\cdot12 + 15\cdot15 + 20\cdot24 + 23\cdot9}{66} =\frac{1158}{66} =\frac{193}{11}\approx17{,}5455.

Passo 4

Em seguida calculamos
E[X^2]=\frac{1}{N}\sum_i x_i^2 f_i =\frac{13^2\cdot6 + 14^2\cdot12 + 15^2\cdot15 + 20^2\cdot24 + 23^2\cdot9}{66} =\frac{21102}{66} =\frac{3517}{11}\approx319{,}7273.
A variância populacional é
\sigma^2 = E[X^2] - \mu^2 =\frac{3517}{11} - \Bigl(\frac{193}{11}\Bigr)^2 =\frac{1438}{121}\approx11{,}89.

Resposta

Mediana: 17{,}5 anos
Variância: \approx11{,}89 anos ^2

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