Calcule, mediante o teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
integral0^1 e^xe^x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 e^xe^x+2,dx
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja, encontrando uma antiderivada de e^xe^x+2 e avaliando-a nos limites 0 e 1.

Passo 2

Para achar a antiderivada, observe que se fizermos a substituição
u = e^x + 2,
então
du = e^x,dx
Isso é perfeito, pois o numerador da integral é exatamente e^x,dx.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração na variável u:
quando x=0,
u(0) = e^0+2 = 1 + 2 = 3,
e quando x=1,
u(1) = e^1+2 = e + 2

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral0^1 e^xe^x+2,dx = integralu=3^u=e+2 1u,du

Passo 5

A antiderivada de 1/u é ln|u|. Portanto, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo,
integral3^,e+2 1u,du = l[ln|u|r]3^,e+2 = lnl(e+2r) - lnl(3r)

Resposta

integral0^1 e^xe^x+2,dx = lnl(e+2r) - lnl(3r)

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