Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
x d y-y d x=2 x^2 y^2 d y, y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
x,dy - y,dx = 2x^2y^2,dy,
com condição inicial y(1)=2.
O conteúdo principal é identificação de uma EDO de Bernoulli após inverter a dependência entre x e y.

Passo 2

Reescrevendo em termos de dxdy:
x,dy - y,dx = 2x^2y^2,dy ;Longrightarrow; x,dy - 2x^2y^2,dy = y,dx ;Longrightarrow; dx = l(xy - 2y,x^2r),dy
portanto
dxdy = xy - 2y,x^2

Passo 3

Essa é uma EDO de Bernoulli na forma
dxdy + p(y),x = q(y),x^2,
com p(y) = -tfrac1y e q(y)=-2y.

Passo 4

Faço a substituição usual de Bernoulli
u = x^1-2 = x^-1
Então
dudy = -x^-2,dxdy = -l(x/y -2y,x^2x^2r) = -x^-1y + 2y = -uy + 2y,
ou seja
dudy + 1y,u = 2y

Passo 5

Essa é uma EDO linear em u. O fator integrante é
mu(y) = expl(integral tfrac1y,dyr) = y
Multiplico tudo por y:
y,dudy + u = 2y^2 ;Longrightarrow; ddyl(y,ur) = 2y^2
Integrando:
y,u = 2y^33 + C ;Longrightarrow; u = 2y^23 + Cy

Passo 6

Voltando a x com u = x^-1:
1x = 2y^23 + Cy ;Longrightarrow; x = 12y^23 + Cy = 3y2y^3 + 3C

Passo 7

Uso a condição inicial y(1)=2. Em x=1, y=2:
1 = 3cdot22cdot 2^3 + 3C = 616 + 3C ;Longrightarrow; 16 + 3C = 6 ;Longrightarrow; C = -103

Passo 8

Substituindo C=-tfrac103 em x=3y2y^3+3C obtemos
x = 3y2y^3 - 10
Em forma implícita equivalente:
2x,y^3 - 3y - 10x = 0

Resposta

A solução da EDO, satisfazendo y(1)=2, é dada implicitamente por
2x,y^3 - 3y - 10x = 0,
ou explicitamente
x = 3y2y^3 - 10

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