Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=2 x+y3+3 y^2-x, y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx = 2x + y3 + 3y^2 - x
com condição inicial y(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem exatas; vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Reescrevemos a EDO em forma diferencial:
(3 + 3y^2 - x),dy - (2x + y),dx = 0
Aqui definimos
M(x,y) = -(2x + y)
e
N(x,y) = 3 + 3y^2 - x.
Calculamos
partial Mpartial y = -1
e
partial Npartial x = -1,
logo a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M
e
partial psipartial y = N.
Integrando
partial psipartial x = -(2x+y)
em relação a x, obtemos
psi(x,y) = integral [-(2x+y)],dx = -x^2 - x y + h(y)
Derivando em relação a y,
partial psipartial y = -x + h'(y),
que deve ser igual a N = 3 + 3y^2 - x. Daí
h'(y) = 3 + 3y^2 Longrightarrow h(y) = 3y + y^3 + C
Portanto a função potencial é
psi(x,y) = -x^2 - x y + 3y + y^3,
e a solução geral implícita é psi(x,y)=K.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=0, temos
psi(0,0) = -0^2 - 0cdot 0 + 3cdot 0 + 0^3 = 0 = K
Logo K=0.

Resposta

A solução com y(0)=0 fica dada implicitamente por
-y^3 - 3y + x y + x^2 = 0 ou equiva<=ntemente y^3 + (3 - x),y - x^2 = 0

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