Calcule, mediante o teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
integral0^e tgh x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^etghx,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma antiderivada de tghx.

Passo 2

Recordamos que
ddxl[ln(cosh x)r] =sinh xcosh x =tanh x
e, em português, tanh x=tghx. Logo uma antiderivada de tghx é
F(x)=lnl(cosh xr)

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
integral0^etghx,dx =F(e)-F(0) =lnl(cosh er)-lnl(cosh 0r)

Passo 4

Como cosh 0=1, segue que
lnl(cosh 0r)=ln(1)=0
e portanto
integral0^etghx,dx =lnl(cosh er)

Resposta

lnl(cosh er)

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