Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(x+e^y) d y-d x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
l(x+e^yr),dy - dx = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Vamos verificar se é exata e, em caso negativo, buscar um fator integrante.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y) = -1, N(x,y) = x + e^y,
temos
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 1,
logo partial M/partial y neq partial N/partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. A condição é
partial N/partial x - partial M/partial yM =1-0-1=-1,
que é função apenas de y. Assim
mu(y)=expgl(integral -1,dygr)=e^-y

Passo 4

Multiplicando a EDO por e^-y obtemos
-,e^-ydx + l(x,e^-y+1r)dy = 0,
que agora é exata. Logo existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x=-e^-y
Integramos em x:
F(x,y)=-x,e^-y+h(y)
Depois
partial Fpartial y =x,e^-y+h'(y)
deve coincidir com x,e^-y+1. Daí h'(y)=1 e h(y)=y.

Passo 5

Portanto
F(x,y)=-x,e^-y+y=C
é a solução implícita geral.

Resposta

y - x,e^-y = C

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