Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
x y^prime=y+x e^y / x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x dydx = y + x e^y/x
Este tipo de ODE é de primeira ordem e apresenta apenas termos de y/x quando dividimos por x. Logo, ela é uma equação homogênea em y e x e podemos usar a substituição
v = yx,
já que daí y = v x.

Passo 2

Calculamos dy/dx em função de v e dv/dx. Como y = v x,
dydx = v + x dvdx
Substituindo na ODE original:
xl(v + x tfracdvdxr) = y + x e^y/x Longrightarrow x v + x^2 dvdx = x v + x e^v
Os termos xv cancelam, sobrando
x^2 dvdx = x e^v Longrightarrow x dvdx = e^v

Passo 3

Agora separamos variáveis:
dve^v = dxx
Integramos ambos os lados:
integral e^-v,dv = integral 1x,dx Longrightarrow -,e^-v = lnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reescrevendo a solução implícita:
e^-v = -lnlvert xrvert + C' (com (C'=-C) outra constante)
Substituindo v = y/x,
e^-,y/x + lnlvert xrvert = C'
Essa é a forma implícita da solução geral.

Passo 5

Se quisermos isolar y, tomamos logaritmo e multiplicamos por -x:
-,yx = lnl(C' - lnlvert xrvertr) Longrightarrow y = -,x,lnl(C' - lnlvert xrvertr)

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
e^-,y/x + lnlvert xrvert = C,
ou explicitamente por
y(x) = -,x,ln!l(C - lnlvert xrvertr),
onde C é a constante de integração.

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