Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
(a) integral-2^0 x^2(x^3-2)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral definida:
integral-2^0 x^2(x^3-2)^2 , dx
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos conecta a derivada com a integral. Precisamos encontrar uma função antiderivada (ou primitiva) para a função integranda e depois avaliar essa antiderivada nos limites de integração.

Passo 2

Vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Observamos que o denominador é u = x^3 - 2 e o numerador tem dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx . Vamos deixar:
x^2 , dx = du3
Agora, derivamos em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Substituindo integral x^2(x^3-2)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du3 = 13 integral u^-2 , du e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar 13 integral u^-2 , du = 13 cdot ( -u^-1 ) + C = -13u + C :
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, o termo constante será eliminado na avaliação final.

Passo 5

Substituímos -13u = -13(x^3 - 2) de volta em termos de F(x) = -13(x^3 - 2) :
Portanto, a primitiva da função integranda é:

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular F(0) - F(-2) = -13(0^3 - 2) - ( -13((-2)^3 - 2) ) , onde e :

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
Para -13(0 - 2) = -1-6 = 16 :
-13((-8) - 2) = -1-30 = 130
Para F(0) - F(-2) = 16 - 130 = 530 - 130 = 430 = 215 :
Portanto:

Resposta

O valor da integral definida é .

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