Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral definida:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos conecta a derivada com a integral. Precisamos encontrar uma função antiderivada (ou primitiva) para a função integranda e depois avaliar essa antiderivada nos limites de integração.
Passo 2
Vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Observamos que o denominador é
e o numerador tem
. Vamos deixar:
Agora, derivamos
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, o termo constante será eliminado na avaliação final.
Passo 5
Substituímos
de volta em termos de
:
Portanto, a primitiva
da função integranda é:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular
, onde
e
:
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente:
Para
:
Para
:
Portanto:
Resposta
O valor da integral definida é
.