Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = 5 + (x - 1)^2 + (y + 2)^2, (2, 0, 10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície dada no ponto específico . Isso está no campo de Cálculo Diferencial, onde usamos derivadas parciais para determinar planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função que define a superfície e depois usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. A equação dada é:
Aqui, está definido em termos de e . Vamos chamar essa função de :

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão as taxas de variação da função em cada direção, o que é essencial para determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Precisamos avaliar essas derivadas no ponto específico . Vamos substituir e nas derivadas parciais que encontramos:
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Aqui, , e .

Passo 6

Vamos substituir todos esses valores na fórmula:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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