Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície dada no ponto específico
. Isso está no campo de Cálculo Diferencial, onde usamos derivadas parciais para determinar planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função que define a superfície e depois usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. A equação dada é:
Aqui,
está definido em termos de
e
. Vamos chamar essa função de
:
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão as taxas de variação da função em cada direção, o que é essencial para determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Precisamos avaliar essas derivadas no ponto específico
. Vamos substituir
e
nas derivadas parciais que encontramos:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Vamos substituir todos esses valores na fórmula:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: