Suponha que sumn=1^infty an seja uma série convergente de termos não negativos. Com base neste fato responda:
sumn=1^infty n an(n^2+1) converge ou diverge? Justifique.

Passo 1

Resumindo, temos uma série sumn=1^infty an convergente com an>=0 e queremos estudar
sumn=1^infty n,ann^2+1
O conteúdo necessário é o teste da comparação para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
n^2+1 >= n^2 Longrightarrow nn^2+1<= nn^2 = 1n
Multiplicando por an>=0, segue
n,ann^2+1 <= ann

Passo 3

Além disso, para n>=1 vale tfrac1n<=1, logo
ann <= an
Como sumn=1^infty an converge e todos os termos são não negativos, pelo teste da comparação direta concluímos que
sumn=1^infty ann
também converge.

Passo 4

Finalmente, como
0 <= n,ann^2+1 <= ann
e sum tfracann converge, o teste da comparação direta garante que
sumn=1^infty n,ann^2+1
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n,ann^2+1 converge.

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