H. 33 Seja a função
f(x)= 2 x^2+9 x+9x+3 & se x neq-3 3 & se x=-3
Mostre que lim x -3 f(x)=3.

Passo 1

A questão nos dá a função f(x) definida de forma piecewise. Para x≠−3 temos f(x)=(2x²+9x+9)/(x+3) e em x=−3 f(x)=3. O objetivo é calcular limₓ→−3 f(x). Vamos precisar lidar com a indeterminação 0/0 fatorando o numerador.

Passo 2

Observamos que ao substituir x=−3 em 2x²+9x+9 obtemos 2·9 −27+9=0, ou seja, há um fator x+3. Para encontrar esse fator fazemos a divisão de polinômios (ou fatoração): 2x²+9x+9=(x+3)(2x+3).

Passo 3

Como resultado, para x≠−3 podemos reescrever f(x) sem indeterminação:
f(x)=2x^2+9x+9x+3=2x+3, xneq -3

Passo 4

Agora basta usar a propriedade de limites de funções polinomiais contínuas: para x→−3 temos lim f(x)=lim(2x+3)=2(−3)+3.

Passo 5

Ao calcular obtemos 2·(−3)+3=−6+3=−3.
Portanto, limₓ→−3 f(x)=−3, o que difere de f(−3)=3, mostrando que a função não é contínua em x=−3.

Resposta

-3

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