Calcule as médias espaciais das energias potencial e cinética de um oscilador harmônico simples sobre um ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as médias espaciais das energias potencial e cinética de um oscilador harmônico simples durante um ciclo completo. Basicamente, estamos lidando com energia potencial e energia cinética dentro de um sistema oscilatório, como um pêndulo ou uma mola. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular médias usando integrais e aplicar as fórmulas dessas energias no contexto do oscilador harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial $ U $ de um oscilador harmônico é dada por:
U
onde:
$ k $ é a constante da mola,
$ x $ é o deslocamento da posição de equilíbrio,
e $ A $ é a amplitude da oscilação.
Queremos encontrar a média espacial da energia potencial, $ \langle U \rangle_{x} $, que significa a média dessa energia ao longo de todas as posições $ x $ que o oscilador atinge durante um ciclo.
Passo 3
Para calcular a média, usamos a fórmula da média de uma função $ f(x) $ sobre um intervalo f(x) :
[-A, A]
Aplicando isso para $ U $:
lang<= f rang<= = 12A integral-A^A f(x) , dx
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
lang<= U rang<=x = k4A integral-A^A x^2 , dx
A integral de $ x^{2} $ de x^2 a $ A $ é:
-A
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da média:
lang<= U rang<=x = k4A times 2A^33 = k A^26
Passo 6
Agora, sabemos que a energia total $ E $ de um oscilador harmônico simples é a soma da energia cinética $ T $ e da energia potencial $ U $:
E
No ponto de máxima amplitude, toda a energia é potencial, então:
T
Portanto, podemos expressar a energia cinética como:
U
Passo 7
Para encontrar a média da energia cinética, $ \langle T \rangle_{x} $, substituímos a média da energia potencial que encontramos:
lang<= T rang<=x
Simplificando:
lang<= T rang<=x = k A^22 - lang<= U rang<=x = k A^22 - k A^26
Resposta
A média espacial da energia potencial é $ \langle U \rangle_{x} = \frac{k A^{2}}{6} $ e a média espacial da energia cinética é $ \langle T \rangle_{x} = \frac{k A^{2}}{3} $.