Calcule as médias espaciais das energias potencial e cinética de um oscilador harmônico simples sobre um ciclo.
U=k x^22 Rightarrow lang<= Urang<=x & =12 A integral-A^A k x^22 d x=k4 A x^33|-A ^A lang<= Urang<=x & =k A^26 T+U=k A^22 & Rightarrow T=k A^22-U lang<= Trang<=x=k A^22-lang<= Urang<=x & Rightarrow lang<= Trang<=x=k A^22-k A^26 lang<= Trang<=x & =k A^23

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as médias espaciais das energias potencial e cinética de um oscilador harmônico simples durante um ciclo completo. Basicamente, estamos lidando com energia potencial e energia cinética dentro de um sistema oscilatório, como um pêndulo ou uma mola. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular médias usando integrais e aplicar as fórmulas dessas energias no contexto do oscilador harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial $ U $ de um oscilador harmônico é dada por:
U
onde:
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x $ é o deslocamento da posição de equilíbrio,
  • e $ A $ é a amplitude da oscilação.
Queremos encontrar a média espacial da energia potencial, $ \langle U \rangle_{x} $, que significa a média dessa energia ao longo de todas as posições $ x $ que o oscilador atinge durante um ciclo.

Passo 3

Para calcular a média, usamos a fórmula da média de uma função $ f(x) $ sobre um intervalo f(x) :
[-A, A]
Aplicando isso para $ U $:
lang<= f rang<= = 12A integral-A^A f(x) , dx

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
lang<= U rang<=x = k4A integral-A^A x^2 , dx
A integral de $ x^{2} $ de x^2 a $ A $ é:
-A

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da média:
lang<= U rang<=x = k4A times 2A^33 = k A^26

Passo 6

Agora, sabemos que a energia total $ E $ de um oscilador harmônico simples é a soma da energia cinética $ T $ e da energia potencial $ U $:
E
No ponto de máxima amplitude, toda a energia é potencial, então:
T
Portanto, podemos expressar a energia cinética como:
U

Passo 7

Para encontrar a média da energia cinética, $ \langle T \rangle_{x} $, substituímos a média da energia potencial que encontramos:
lang<= T rang<=x
Simplificando:
lang<= T rang<=x = k A^22 - lang<= U rang<=x = k A^22 - k A^26

Resposta

A média espacial da energia potencial é $ \langle U \rangle_{x} = \frac{k A^{2}}{6} $ e a média espacial da energia cinética é $ \langle T \rangle_{x} = \frac{k A^{2}}{3} $.

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