Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x=-a / 2 e x=a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora dessa região. A partícula oscila entre as paredes em x= pm a / 2 de uma caixa unidimensional. A função de onda para o estado de menor energia da partícula é
Psi(x, t)=rrr A cos (pi xa) e^-ihbar E t, & se -a / 2=+a / 2
Verifique que essa função de onda é solução da equação de Schrodinger na região -a / 2 e determine o valor de E para seu estado de menor energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa $ m $ que se move livremente ao longo do eixo $ x $ dentro de uma região limitada entre $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode existir. A função de onda dada representa o estado de menor energia dessa partícula. Nosso objetivo é verificar se essa função de onda realmente satisfaz a equação de Schrödinger nessa região e encontrar o valor da energia $ E $ correspondente a esse estado de menor energia.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger para uma partícula livre em uma dimensão e como aplicar condições de contorno nas paredes da “caixa”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula com potencial $ V(x) $:
V(x)
No nosso caso, a partícula está confinada na região $ -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2} $ e não pode existir fora dessa área. Isso significa que fora dessas extremidades, o potencial $ V(x) $ é infinito, forçando a função de onda a ser zero. Dentro da caixa, onde a partícula pode existir, o potencial $ V(x) = 0 $.

Passo 3

Dentro da região onde $ V(x) = 0 $, a equação de Schrödinger simplifica para:
V(x) = 0
A função de onda que nos foi dada é:
ihbar partial Psi(x, t)partial t = -hbar^22m partial^2 Psi(x, t)partial x^2
Vamos verificar se essa função satisfaz a equação acima.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada temporal da função de onda:
partial Psi(x, t)partial t = A cos(pi xa) (-i Ehbar) e^-ihbar E t = -i Ehbar Psi(x, t)
Agora, multiplicando ambos os lados por $ i\hbar $:
ihbar

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada espacial da função de onda:
Primeiro, a primeira derivada:
partial Psi(x, t)partial x = A (-pia) sin(pi xa) e^-ihbar E t
Agora, a segunda derivada:
partial^2 Psi(x, t)partial x^2 = A (-pia)^2 cos(pi xa) e^-ihbar E t = (pi^2a^2) Psi(x, t)

Passo 6

Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger simplificada:
E Psi(x, t) = -hbar^22m (pi^2a^2) Psi(x, t)
Podemos cancelar $ \Psi(x, t) $ de ambos os lados (desde que $ \Psi \neq 0 $):
Psi(x, t)

Passo 7

Pronto! Verificamos que a função de onda dada satisfaz a equação de Schrödinger dentro da região permitida e encontramos o valor da energia para o estado de menor energia.

Resposta

O valor da energia $ E $ para o estado de menor energia é:
E

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