Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
e
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora dessa região. A partícula oscila entre as paredes em
de uma caixa unidimensional. A função de onda para o estado de menor energia da partícula é
Verifique que essa função de onda é solução da equação de Schrodinger na região
e determine o valor de
para seu estado de menor energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa $ m $ que se move livremente ao longo do eixo $ x $ dentro de uma região limitada entre $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode existir. A função de onda dada representa o estado de menor energia dessa partícula. Nosso objetivo é verificar se essa função de onda realmente satisfaz a equação de Schrödinger nessa região e encontrar o valor da energia $ E $ correspondente a esse estado de menor energia.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger para uma partícula livre em uma dimensão e como aplicar condições de contorno nas paredes da “caixa”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula com potencial $ V(x) $:
No nosso caso, a partícula está confinada na região $ -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2} $ e não pode existir fora dessa área. Isso significa que fora dessas extremidades, o potencial $ V(x) $ é infinito, forçando a função de onda a ser zero. Dentro da caixa, onde a partícula pode existir, o potencial $ V(x) = 0 $.
Passo 3
Dentro da região onde $ V(x) = 0 $, a equação de Schrödinger simplifica para:
A função de onda que nos foi dada é:
Vamos verificar se essa função satisfaz a equação acima.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada temporal da função de onda:
Agora, multiplicando ambos os lados por $ i\hbar $:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada espacial da função de onda:
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 6
Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger simplificada:
Podemos cancelar $ \Psi(x, t) $ de ambos os lados (desde que $ \Psi \neq 0 $):
Passo 7
Pronto! Verificamos que a função de onda dada satisfaz a equação de Schrödinger dentro da região permitida e encontramos o valor da energia para o estado de menor energia.
Resposta
O valor da energia $ E $ para o estado de menor energia é: