Calcule a medida do ângulo entre u e v nos seguintes casos:
u=(raiz2 / 2,-raiz2 / 2,1)E e v=(1,-1,0)E.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores
u=(tfracraiz22,-tfracraiz22,1) e v=(1,-1,0).
O conteúdo principal é produto escalar e norma de vetores em R^3. Vamos usar as fórmulas
ucdotv
e
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
para encontrar costheta e depois theta.

Passo 2

Calcular o produto escalar ucdotv. Pela definição,
ucdotv = raiz22cdot1 + l(-raiz22r)cdot(-1) + 1cdot0 = raiz22 + raiz22 + 0 = raiz2

Passo 3

Calcular a norma de u:
|u| = raizl(raiz22r)^2 + l(-raiz22r)^2 + 1^2 = raiz12 + 12 + 1 = raiz2

Passo 4

Calcular a norma de v:
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2

Passo 5

Usar a definição de cosseno do ângulo entre vetores:
costheta = ucdotv|u|;|v| = raiz2raiz2,raiz2 = raiz22
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theta = arccosl(tfracraiz22r) = 45^circ l(ou tfracpi4r)

Resposta

theta = 45^circ (ou tfracpi4).

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