Seja T: R^3 R^3 uma aplicação dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, z).
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (,x+y+z,;2y+z,;z,)
Queremos mostrar que T é linear, isto é, satisfaz para todos u,vinR^3 e todo escalar alpha as propriedades:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade).
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = l(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2r)
e, aplicando T,
T(u+v) = l((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),;2(y1+y2)+(z1+z2),;z1+z2r)
Reagrupando em duas parcelas, temos
T(u+v) = (x1+y1+z1,;2y1+z1,;z1);+;(x2+y2+z2,;2y2+z2,;z2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Para homogeneidade, seja alphainR. Então
alpha,u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1)
e
T(alpha u) = l(alpha x1+alpha y1+alpha z1,;2(alpha y1)+alpha z1,;alpha z1r) = alpha,(x1+y1+z1,;2y1+z1,;z1) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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