Seja
e um subconjunto do -espaço vetorial .
Mostre que é um subespaço vetorial de .

Passo 1

O enunciado define
W = a & b c & din M2(R) : a=0 ; e ; b+d=c
e pede para mostrar que W é subespaço de M2(R). O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: precisamos verificar que W contém o vetor zero, que é fechado em soma e fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
0 = 0 & 0 0 & 0
satisfaz a=0 e b+d=0+0=0=c. Logo, 0in W.

Passo 3

Sejam
X = 0 & b1 c1 & d1 e Y = 0 & b2 c2 & d2
em W. Então b1+d1=c1 e b2+d2=c2. A soma é
X+Y = 0 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
No resultado, o elemento (1,1) é 0, e
(b1+b2)+(d1+d2) = (b1+d1)+(b2+d2) = c1 + c2
Portanto, X+Yin W.

Passo 4

Dado escalar lambdainR e
X = 0 & b c & d in W,
temos lambda X = 0 & lambda b lambda c & lambda d
Aqui o elemento (1,1) continua 0 e
(lambda b) + (lambda d) = lambda(b+d) = lambda c,
logo lambda Xin W.

Resposta

Concluímos que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Logo, W é subespaço vetorial de M2(R).

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