Sendo u=(raizm, 1,1 / 2)E e v=(raizm, 1 / 2,1)E determine m sabendo que o co-seno da medida do ângulo entre u e v vale:
13;

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(raizm,,1,,tfrac12) e v=(raizm,,tfrac12,,1) em R^3, e pede m tal que o cosseno do ângulo theta entre eles seja costheta=tfrac13.
Conteúdo: uso da fórmula
costheta ;=;ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Calculamos o produto interno
ucdotv = (raizm)(raizm) + (1)l(tfrac12r) + l(tfrac12r)(1) = m + tfrac12 + tfrac12 = m + 1

Passo 3

Calculamos as normas
|u|^2 = m + 1^2 + l(tfrac12r)^2 = m + 1 + tfrac14 = m + tfrac54,
|v|^2 = m + l(tfrac12r)^2 + 1^2 = m + tfrac14 + 1 = m + tfrac54
Logo
|u|,|v| = raizm+tfrac54;raizm+tfrac54 = m + tfrac54

Passo 4

Impondo ucdotv|u|,|v|=tfrac13, temos
m+1,m+tfrac54, ;=; 13

Passo 5

Resolvendo a equação:
3(m+1)=m+tfrac54 Longrightarrow 3m+3 = m + tfrac54 Longrightarrow 2m = -tfrac74 Longrightarrow m = -tfrac78
Note que, embora haja essa solução formal, para raizm real precisaríamos m>=0, o que não ocorre aqui. Mas a única solução da equação é m=-tfrac78.

Resposta

m = -tfrac78.

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