Calcule a medida do volume sob o plano \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y} e acima da região do primeiro quadrante no interior da elipse 9 x^{2}+4 y^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede o volume sob o plano z = x + y e acima da região do primeiro quadrante limitada pela elipse
9x^{2} + 4y^{2} = 36.
Para calcular volumes de regiões sólidas definidas por z = f(x,y) sobre uma região R no plano xy, usamos a integral dupla
V = \iint_{R} f(x,y)\,dA.

Passo 2

Descrimos a região R como
R = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;9x^{2}+4y^{2}\le36\}.
Em particular, da elipse temos
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}\le1 \quad\Longrightarrow\quad 0\le x\le2,\quad 0\le y\le 3\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}.

Passo 3

Montamos a integral dupla em ordem dy\,dx:
V = \int_{0}^{2}\int_{0}^{3\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} (x+y)\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
\int_{0}^{3\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} (x+y)\,dy = \Bigl[x\,y + \tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{3\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} = 3x\sqrt{1 - \tfrac{x^{2}}{4}} + \frac{9}{2}\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr).
Logo
V = \int_{0}^{2}\Bigl[\,3x\sqrt{1 - \tfrac{x^{2}}{4}} + \tfrac{9}{2}\bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4}\bigr)\Bigr]\,dx.

Passo 5

Separamos em dois integrais:
V = I_{1} + I_{2},
onde
I_{1} = \int_{0}^{2}3x\sqrt{1 - \tfrac{x^{2}}{4}}\,dx, \quad I_{2} = \frac{9}{2}\int_{0}^{2}\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Calculamos I_{1} por substituição. Seja
u = 1 - \frac{x^{2}}{4}, \quad du = -\frac{x}{2}\,dx,
com x=0\Rightarrow u=1 e x=2\Rightarrow u=0. Então
I_{1} = 3\int_{0}^{2}x\sqrt{1 - \tfrac{x^{2}}{4}}\,dx = 3\int_{1}^{0}(-2)\sqrt{u}\,du = 6\int_{0}^{1}u^{\tfrac12}\,du = 6\cdot\frac{2}{3} = 4.

Passo 7

Agora I_{2} é direto:
I_{2} = \frac{9}{2}\int_{0}^{2}\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)\,dx = \frac{9}{2}\Bigl[x - \frac{x^{3}}{12}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{9}{2}\cdot\frac{4}{3} = 6.

Passo 8

Somando as partes:
V = I_{1} + I_{2} = 4 + 6 = 10.

Resposta

10

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