Use as integrais iteradas para calcular a medida do volume:
Da região do primeiro octante limitada pelo plano x+y=1 e pelo cilindro z=1-x^{{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região R no primeiro octante (isto é, x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitada pelo plano x+y=1 e pelo cilindro z=1 - x^2. O conteúdo utilizado será integrais triplas em coordenadas cartesianas, projetando R no plano xy e depois integrando em z.

Passo 2

Projete R no plano xy. A projeção é
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Para cada (x,y)\in D, z varia de 0 até 1 - x^2, desde que 1 - x^2\ge0, o que já ocorre em 0\le x\le1.

Passo 3

Escrevemos o volume como integral iterada:
V = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{\,1-x}\int_{z=0}^{\,1-x^2}dz\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{\,1-x^2}dz = 1 - x^2.
Logo
V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1 - x^2)\,dy\,dx.

Passo 5

Agora integramos em y: como 1 - x^2 não depende de y,
\int_{0}^{1-x}(1 - x^2)\,dy = (1 - x^2)\,(1 - x).
Portanto
V = \int_{0}^{1}(1 - x)(1 - x^2)\,dx.

Passo 6

Expandimos e integramos em x:
(1 - x)(1 - x^2) = 1 - x - x^2 + x^3,
\int_{0}^{1}(1 - x - x^2 + x^3)\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac12 - \tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{5}{12}.

Resposta

\boxed{\frac{5}{12}}

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