Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
f^{\prime}(x)<0 se x<c; f^{\prime}(x)>0 se x>c; f^{\prime \prime}(x)>0 se x<c; f^{\prime \prime}(x)<0 se x>c

Passo 1

A gente quer desenhar o comportamento de uma função f perto de um ponto c, sabendo que
  1. \,f'(x)<0 para x<c e \,f'(x)>0 para x>c;
  2. \,f''(x)>0 para x<c e \,f''(x)<0 para x>c.
    O conteúdo usado é interpretação geométrica dos sinais de f' (crescimento/decaimento) e de f'' (concavidade).

Passo 2

Como \,f'(x)<0 para x<c, o gráfico está descendo enquanto nos aproximamos de c pela esquerda. E \,f''(x)>0 para x<c significa que, nessa região, a curva é côncava para cima (como uma “tigela” que segura água).

Passo 3

Para x>c, temos \,f'(x)>0, ou seja, o gráfico sobe ao sair de c. Ao mesmo tempo, \,f''(x)<0 para x>c diz que a curva é côncava para baixo (como um “teto” curvado).

Passo 4

Juntando tudo:
  • À esquerda de c a função desce e é côncava para cima.
  • Em c trocamos de comportamento: de decrescente para crescente (logo há um mínimo local).
  • E também trocamos de concavidade (logo há ponto de inflexão em c).

Resposta

O gráfico tem um ponto de mínimo em c que é também um ponto de inflexão: ele desce de forma côncava para cima até c e depois sobe de forma côncava para baixo.

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