Use as integrais iteradas para calcular a medida do volume:
Da região do primeiro octante limitada pela superfície \mathrm{z}=4-\mathrm{x}-\mathrm{y}^{{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no primeiro octante (isto é, \,x\ge0, \,y\ge0, \,z\ge0) limitada pela superfície
z=4 - x - y^{2}.
Para isso vamos usar integração tripla e o Teorema de Fubini para escrever integrais iteradas.

Passo 2

Projetando a região no plano xy, a condição z\ge0 vira
4 - x - y^{2}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 4 - y^{2}.
Como estamos no primeiro octante, x\ge0 e y\ge0. Além disso, 4 - y^{2}\ge0 0 \le y \le 2. Logo os limites são
0 \le y \le 2, \quad 0 \le x \le 4 - y^{2}.

Passo 3

Escrevendo a integral tripla em ordem dz\,dx\,dy, temos
V = \int_{y=0}^{2} \int_{x=0}^{4 - y^{2}} \int_{z=0}^{4 - x - y^{2}} dz\,dx\,dy.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{4 - x - y^{2}} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{4 - x - y^{2}} = 4 - x - y^{2}.
Isso reduz V a
V = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\,4 - y^{2}} \bigl(4 - x - y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{4 - y^{2}} \bigl(4 - x - y^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{4 - y^{2}} (4 - y^{2})\,dx \;-\;\int_{0}^{4 - y^{2}} x\,dx = (4 - y^{2})(4 - y^{2}) \;-\;\frac{(4 - y^{2})^{2}}{2} = \frac{(4 - y^{2})^{2}}{2}.
Então
V = \int_{0}^{2} \frac{(4 - y^{2})^{2}}{2}\,dy.

Passo 6

Falta só a integral em y. Expandindo (4 - y^{2})^{2}=16 -8y^{2}+y^{4}:
V = \frac12 \int_{0}^{2} (16 -8y^{2}+y^{4})\,dy = \frac12 \Bigl[16y - \frac{8y^{3}}{3} + \frac{y^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{2} = \frac12 \Bigl(32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}\Bigr).
Colocando em denominador comum 15:
32 = \frac{480}{15},\quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15},\quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15},
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32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} = \frac{480 - 320 + 96}{15} = \frac{256}{15}.
Portanto
V = \frac12 \cdot \frac{256}{15} = \frac{128}{15}.

Resposta

O volume da região é \displaystyle \frac{128}{15}.

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