Resolva a integral \int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}z\,dy\,dx
onde z não depende de x nem de y. O conteúdo aqui é integração iterada em um domínio planar D=\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\,-\sqrt{9-x^2}\le y\le\sqrt{9-x^2}\}, que é a metade direita de um disco de raio 3.

Passo 2

Primeiro integramos em y, tratando z como constante:
\int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}z\,dy = z\;\bigl[y\bigr]_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} = z\bigl(\sqrt{9-x^{2}}-(-\sqrt{9-x^{2}})\bigr) =2z\sqrt{9-x^{2}}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{3}2z\sqrt{9-x^{2}}\,dx =2z\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx.
Usamos a fórmula
\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx =\frac{\pi a^{2}}{4},
com a=3. Logo
\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx =\frac{\pi\cdot3^{2}}{4} =\frac{9\pi}{4}.
Multiplicando por 2z
2z\cdot\frac{9\pi}{4} =\frac{9\pi}{2}\,z.

Resposta

\frac{9\pi}{2}\,z

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