Calcule a medida do volume do sólido delimitado pelos gráficos das equaçós y=x^{3} ; y=x^{4} ; z-x-y=4 e z=0.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos o sólido limitado pelas superfícies
y = x^3,\quad y = x^4,\quad z = 0,\quad z - x - y = 4\\ (\text{i.e. }z = x + y + 4).
Queremos o volume desse sólido em \mathbb{R}^3. Como é um sólido entre duas “topos” z=0 e z=x+y+4 e “paredes” definidas por y=x^3 e y=x^4, vamos projetá-lo no plano xy e usar integração dupla de
\text{altura} = (x+y+4) - 0 = x + y + 4.

Passo 2

Determinar a região de projeção D no plano xy
As curvas y=x^3 e y=x^4 se intersectam onde
x^3 = x^4 \;\Longrightarrow\; x^3(x-1)=0\;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Para 0\le x\le1 temos x^4\le x^3, logo a região D é
0 \le x \le 1,\quad x^4 \le y \le x^3.

Passo 3

Configurar a integral dupla para o volume
O volume é
V \;=\;\iint_{D}\bigl(x+y+4\bigr)\,dA \;=\;\int_{x=0}^{1}\;\int_{y=x^4}^{x^3}\!(x+y+4)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y
\int_{y=x^4}^{x^3}(x+y+4)\,dy = \Bigl[x\,y + \tfrac{y^2}{2} + 4y\Bigr]_{y=x^4}^{x^3}.
Substituindo os limites,
= x(x^3 - x^4) + \frac{(x^3)^2 - (x^4)^2}{2} + 4(x^3 - x^4) =4x^3 -3x^4 - x^5 + \tfrac{x^6}{2} - \tfrac{x^8}{2}.

Passo 5

Integrar em x de 0 a 1
V = \int_{0}^{1}\Bigl(4x^3 -3x^4 - x^5 + \tfrac{x^6}{2} - \tfrac{x^8}{2}\Bigr)dx.
Calculando termo a termo,
\int_{0}^{1}4x^3dx = 1,\quad \int_{0}^{1}-3x^4dx = -\tfrac{3}{5},\quad \int_{0}^{1}-x^5dx = -\tfrac{1}{6},
\int_{0}^{1}\tfrac{x^6}{2}dx = \tfrac{1}{14},\quad \int_{0}^{1}-\tfrac{x^8}{2}dx = -\tfrac{1}{18}.
Somando tudo:
V = 1 - \tfrac{3}{5} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{14} - \tfrac{1}{18} = \frac{157}{630}.

Resposta

V = \frac{157}{630}.

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