(2 pontos) Use o Teorema de Green para calcular \int_{C} F \cdot d r onde
F(x, y)=(y \cos x-x y \operatorname{sen} x) \mathbf{i}+(x y+x \cos x) \mathbf{j}
e C é o triângulo com vértices em (0,0), \quad(4,0), \quad(2,0), percorridos no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_{C}F\cdot d r
em que
F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(y\cos x - x y\sin x,\;x y + x\cos x\bigr)
e C é o triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (2,4) percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre a região interna D do triângulo.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
\oint_{C}F\cdot dr = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x y + x\cos x) = y + \cos x - x\sin x,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y\cos x - x y\sin x) = \cos x - x\sin x.
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(y + \cos x - x\sin x\bigr) - \bigl(\cos x - x\sin x\bigr) = y.

Passo 3

A integral de linha reduz-se a
\iint_{D} y\,dA,
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (4,0) e (2,4). Para descrever D em coordenadas x,y, notamos que as retas nos lados atendem:
de x=0 a x=2, o teto é y=2x;
de x=2 a x=4, o teto é y=-2x+8.

Passo 4

Escrevemos o duplo integral como soma de dois integrais em x:
\iint_{D}y\,dA = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{2x}y\,dy\,dx + \int_{x=2}^{4}\!\int_{y=0}^{-2x+8}y\,dy\,dx.

Passo 5

Calculamos cada parte:
para 0\le x\le2,
\int_{0}^{2x}y\,dy = \frac{1}{2}(2x)^{2} = 2x^{2},
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\int_{0}^{2}2x^{2}\,dx = \frac{2\;x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{16}{3}.
para 2\le x\le4,
\int_{0}^{-2x+8}y\,dy = \frac{1}{2}(-2x+8)^{2},
\int_{2}^{4}\frac{1}{2}(-2x+8)^{2}dx = \frac{1}{2}\int_{2}^{4}(4x^{2}-32x+64)\,dx = \frac{16}{3}.

Passo 6

Somando as duas contribuições, obtemos
\iint_{D}y\,dA = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.

Resposta

\oint_{C}F\cdot dr = \frac{32}{3}.

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