e C é o triângulo com vértices em (0,0), \quad(4,0), \quad(2,0), percorridos no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_{C}F\cdot d r
em que
F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(y\cos x - x y\sin x,\;x y + x\cos x\bigr)
e C é o triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (2,4) percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre a região interna D do triângulo.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
\oint_{C}F\cdot dr = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x y + x\cos x) = y + \cos x - x\sin x,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y\cos x - x y\sin x) = \cos x - x\sin x.
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(y + \cos x - x\sin x\bigr) - \bigl(\cos x - x\sin x\bigr) = y.
Passo 3
A integral de linha reduz-se a
\iint_{D} y\,dA,
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (4,0) e (2,4). Para descrever D em coordenadas x,y, notamos que as retas nos lados atendem:
de x=0 a x=2, o teto é y=2x;
de x=2 a x=4, o teto é y=-2x+8.
Passo 4
Escrevemos o duplo integral como soma de dois integrais em x: