(2 pontos) Use o Teorema de Green para calcular \int_{C} F \cdot d r onde
F(x, y)=(y \cos x-x y \operatorname{sen} x) \mathbf{i}+(x y+x \cos x) \mathbf{j}
e C é o triângulo com vértices em (0,0), \quad(4,0), \quad(0, \alpha), percorridos no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y)=\bigl(y\cos x - x y\sin x\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(xy + x\cos x\bigr)\,\mathbf{j},
usando o Teorema de Green no domínio D formado pelo triângulo de vértices (0,0), (4,0) e (0,\alpha), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
\oint_{C}F\cdot d r =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde
P(x,y)=y\cos x - x y\sin x, \quad Q(x,y)=x y + x\cos x.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(xy+x\cos x) =y + \cos x - x\sin x,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y\cos x - x y\sin x) =\cos x - x\sin x.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y.

Passo 3

O domínio D pode ser descrito por
0\le x\le4, \quad 0\le y\le \frac{\alpha}{4}(4 - x).
Então
\iint_{D}y\,dA =\int_{x=0}^{4}\!\!\int_{y=0}^{\frac{\alpha}{4}(4 - x)}y\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna:
\int_{0}^{\frac{\alpha}{4}(4-x)}y\,dy =\frac12\Bigl(\frac{\alpha}{4}(4-x)\Bigr)^{2} =\frac{\alpha^{2}}{32}(4-x)^{2}.
Depois,
\int_{0}^{4}\frac{\alpha^{2}}{32}(4-x)^{2}\,dx =\frac{\alpha^{2}}{32}\int_{0}^{4}(4-x)^{2}\,dx =\frac{\alpha^{2}}{32}\cdot\frac{4^{3}}{3} =\frac{2\alpha^{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\alpha^{2}}{3}

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