(2 pontos) Use o Teorema de Green para calcular \int_{C} F \bullet d r onde
F(x, y)=(y \cos x-x y \operatorname{sen} x) \mathbf{i}+(x y+x \cos x) \mathbf{j}
e C é o triângulo com vértices em (0,0), \quad(4,0), \quad(0,2), percorridos no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\oint_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y)=\bigl(y\cos x - x\,y\sin x\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(x\,y + x\cos x\bigr)\,\mathbf{j}
e C é o triângulo de vértices (0,0), (4,0), (0,2) orientado no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
sendo D a região interior a C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy + x\cos x\bigr) =y + \cos x - x\sin x,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos x - x\,y\sin x\bigr) =\cos x - x\sin x.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(y + \cos x - x\sin x\bigr) - \bigl(\cos x - x\sin x\bigr) = y.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}F\cdot d r = \iint_{D} y\,dA.
A região D é o triângulo com vértices (0,0), (4,0), (0,2). Para descrever D em coordenadas, note que a reta que une (4,0) a (0,2) é y=-\tfrac12x+2, i.e.\ x=4-2y. Assim,
0 \le y \le 2, \quad 0 \le x \le 4 - 2y.

Passo 4

Calculamos a integral dupla:
\iint_{D} y\,dA = \int_{y=0}^{2}\!\!\int_{x=0}^{\,4-2y} y\,dx\,dy = \int_{0}^{2} y\bigl(4 - 2y\bigr)\,dy = \int_{0}^{2} (4y - 2y^{2})\,dy = \Bigl[2y^{2} - \tfrac{2}{3}y^{3}\Bigr]_{0}^{2} = 8 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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