(2 pontos) Use o Teorema de Green para calcular
onde
e
é o triângulo com vértices em
, percorridos no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
e
é o triângulo de vértices
,
,
orientado no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
sendo
a região interior a
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
A região
é o triângulo com vértices
,
,
. Para descrever
em coordenadas, note que a reta que une
a
é
, i.e.\
. Assim,
Passo 4
Calculamos a integral dupla: