Calcule o menor ângulo, em graus, entre os planos
m1:-9x±9y±3z=-3
2:-5 x+-9 y+-6 z=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o menor ângulo entre dois planos. Para isso, vamos trabalhar com as equações dos planos que nos dão as normais de cada um. Precisamos entender um pouquinho sobre vetores normais e como calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as normais dos planos a partir das equações dadas. A equação geral de um plano é:
Ax + By + Cz = D
Aqui, o vetor normal ao plano é (A, B, C).
Para o plano m1: -9x -9y -3z = -3, a normal é:
n1 = (-9, -9, -3)
Para o plano m2: -5x -9y -6z = 7, a normal é:
n2 = (-5, -9, -6)

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores normais. A fórmula para o cosseno do ângulo theta entre dois vetores n1 e n2 é:
cos theta = n1 cdot n2||n1|| , ||n2||
Onde n1 cdot n2 é o produto escalar e ||n|| é o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (-9)(-5) + (-9)(-9) + (-3)(-6) = 45 + 81 + 18 = 144

Passo 5

Em seguida, calculamos os módulos dos vetores:
||n1|| = raiz(-9)^2 + (-9)^2 + (-3)^2 = raiz81 + 81 + 9 = raiz171 approx 13,0767
||n2|| = raiz(-5)^2 + (-9)^2 + (-6)^2 = raiz25 + 81 + 36 = raiz142 approx 11,9164

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 14413,0767 times 11,9164 approx 144155,894 approx 0,9245

Passo 7

Por fim, encontramos o ângulo theta usando a função arccos:
theta = arccos(0,9245) approx 22,5^circ

Resposta

O menor ângulo entre os planos m1 e m2 é aproximadamente 22,5^circ.

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