Se a eliminação leva a x+y=1 e 2 y=3, encontre três possíveis problemas originais.

Passo 1

O enunciado diz que, após fazer eliminação em um sistema qualquer, chegamos às duas equações
x + y = 1
e
2y = 3
O que se pede é propor três sistemas originais diferentes que, ao aplicarmos eliminação (ou simplesmente “dividirmos” por escalares), resultem nessas duas equações. Vamos usar o fato de que multiplicar uma equação inteira por qualquer escalar não nulo não muda sua solução.

Passo 2

Seja uma equação genérica ,Ecolon L(x,y)=c. Multiplicando ambos os lados por um escalar kneq0 obtemos
kL(x,y)=kc,
que admite exatamente as mesmas soluções de L(x,y)=c. Logo, qualquer sistema original pode ser obtido multiplicando ,x+y=1 e 2y=3 por escalares não nulos distintos.

Passo 3

Primeiro sistema original: multiplicaremos
x+y=1
por 2 e deixaremos 2y=3 sem escala. O sistema fica
2x + 2y = 2, 2y = 3

Passo 4

Segundo sistema original: multiplicaremos
x+y=1
por 3 e
2y=3
por 2. O sistema fica
3x + 3y = 3, 4y = 6

Passo 5

Terceiro sistema original: multiplicaremos
x+y=1
por -5 e
2y=3
por 4. O sistema fica
-5x - 5y = -5, 8y = 12

Resposta

Os três sistemas originais podem ser, por exemplo:
2x + 2y = 2, 2y = 3; 3x + 3y = 3, 4y = 6; -5x - 5y = -5, 8y = 12

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