Encontre a equação geral do plano pi que passa pelos pontos
P1 =(0,-3,5),
P2=(-5,0,1),
P3=(-10,1,0).
Preencha as lacunas com os coeficientes da equação geral do plano, considerando o primeiro coeficiente igual a 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: P1 (0, -3, 5), P2 (-5, 0, 1) e P3 (-10, 1, 0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente como determinar a equação geral de um plano e como encontrar os coeficientes dessa equação a partir de pontos conhecidos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a equação geral de um plano é dada por:
ax + by + cz + d = 0
Aqui, a gente precisa encontrar os valores de a, b, c e d. Como o problema pede para considerar o primeiro coeficiente igual a 1, temos que a = 1. Então, nossa equação fica:
x + by + cz + d = 0

Passo 3

Agora, vamos usar os três pontos dados para montar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os valores de b, c e d. Substituindo as coordenadas de cada ponto na equação, temos:
Para P1 (0, -3, 5):
0 + b(-3) + c(5) + d = 0 -3b + 5c + d = 0 (Equação 1) çã
Para P2 (-5, 0, 1):
-5 + b(0) + c(1) + d = 0 -5 + c + d = 0 (Equação 2) çã
Para P3 (-10, 1, 0):
-10 + b(1) + c(0) + d = 0 -10 + b + d = 0 (Equação 3) çã

Passo 4

Agora, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
  1. -3b + 5c + d = 0
  2. -5 + c + d = 0
  3. -10 + b + d = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos da Equação 2:
-5 + c + d = 0 c + d = 5 (Equação 2.1) çã
E da Equação 3:
-10 + b + d = 0 b + d = 10 (Equação 3.1) çã

Passo 5

Agora, temos duas novas equações:
2.1. c + d = 5
3.1. b + d = 10
Vamos isolar d na Equação 2.1:
d = 5 - c
Agora, substituímos d na Equação 3.1:
b + (5 - c) = 10 b + 5 - c = 10 b - c = 5 (Equação 4) çã

Passo 6

Agora, vamos voltar para a Equação 1:
-3b + 5c + d = 0
Sabemos que d = 5 - c, então substituímos:
-3b + 5c + (5 - c) = 0 -3b + 5c + 5 - c = 0 -3b + 4c + 5 = 0 -3b + 4c = -5 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
  1. b - c = 5
  2. -3b + 4c = -5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da Equação 4:
b = c + 5
Substituímos b na Equação 5:
-3(c + 5) + 4c = -5 -3c - 15 + 4c = -5 c - 15 = -5 c = 10

Passo 8

Agora que encontramos c = 10, vamos encontrar b usando a Equação 4:
b = c + 5 b = 10 + 5 b = 15
E também encontrar d usando a Equação 2.1:
d = 5 - c d = 5 - 10 d = -5

Resposta

Com a = 1, b = 15, c = 10 e d = -5, a equação geral do plano é:
x + 15y + 10z - 5 = 0

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