Encontre a equação geral do plano
que passa pelos pontos
P1
,
P2=(-5,0,1),
P3=(-10,1,0).
Preencha as lacunas com os coeficientes da equação geral do plano, considerando o primeiro coeficiente igual a 1.
P1
P2=(-5,0,1),
P3=(-10,1,0).
Preencha as lacunas com os coeficientes da equação geral do plano, considerando o primeiro coeficiente igual a 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: P1
, P2
e P3
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente como determinar a equação geral de um plano e como encontrar os coeficientes dessa equação a partir de pontos conhecidos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui, a gente precisa encontrar os valores de
,
,
e
. Como o problema pede para considerar o primeiro coeficiente igual a 1, temos que
. Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos usar os três pontos dados para montar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os valores de
,
e
. Substituindo as coordenadas de cada ponto na equação, temos:
Para P1
:
Para P2
:
Para P3
:
Passo 4
Agora, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos da Equação 2:
E da Equação 3:
Passo 5
Agora, temos duas novas equações:
2.1.
3.1.
Vamos isolar
na Equação 2.1:
Agora, substituímos
na Equação 3.1:
Passo 6
Agora, vamos voltar para a Equação 1:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da Equação 4:
Substituímos
na Equação 5:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a Equação 4:
E também encontrar
usando a Equação 2.1:
Resposta
Com
,
,
e
, a equação geral do plano é: