Construa um exemplo 3 por 3 que tenha 9 coeficientes diferentes no lado esquerdo, mas as linhas 2 e 3 tornem-se zero na eliminação. Quantas soluções seu sistema tem e quantas com ?
Passo 1
O enunciado pede para montar um sistema cuja matriz de coeficientes tenha todas as 9 entradas distintas, mas que, após eliminação de Gauss, as linhas 2 e 3 virem linhas nulas. Em seguida, precisamos determinar o número de soluções quando e quando . O conteúdo envolve dependência linear de linhas, posto (rank) da matriz e condição de consistência.
Passo 2
Escolhemos a linha 1 com três entradas distintas, por exemplo . Fazemos a linha 2 igual a vezes a linha 1 e a linha 3 igual a vezes a linha 1, obtendo
As 9 entradas são 1,3,5,2,6,10,4,12,20, todas diferentes.
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss em , usamos o pivô . Eliminamos abaixo:
Logo .
Passo 4
No sistema A x= b, a eliminação também gera as condições
0 = b2 - 2,b1, 0 = b3 - 4,b1
Para b=(1,10,100) temos
b2 - 2b1 = 10 - 2cdot1 = 8 neq 0,
então o sistema é inconsistente e não há solução.
Passo 5
Para as condições viram
logo o sistema é consistente. Como e há 3 incógnitas, temos graus de liberdade, ou seja, infinitas soluções.
Resposta
O sistema escolhido é
1 & 3 & 5 2 & 6 & 10 4 & 12 & 20 x = b
Com b=(1,10,100) não há solução.
Com b=(0,0,0) há infinitas soluções.