Encontre os pivôs e a solução para ambos os sistemas A x=b e K x=b :
rlrl 2 x+y & =0 & 2 x-y & =0 x+2 y+z & =0 & & -x+2 y-z=0 y+2 z+t & =0 & e & -y+2 z-t=0 z+2 t & =5 & -z+2 t & =5

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois sistemas lineares tridiagonais
Ax=b e Kx=b,
ambos em variáveis x=(x,y,z,t), usando eliminação de Gauss para identificar os pivôs (posições e valores) e, em seguida, obter a solução por retro-substituição.

Passo 2

Resolvendo Ax=b. Montamos a matriz aumentada
l[,Amidbr] = 2 & 1 & 0 & 0 &mid&0 1 & 2 & 1 & 0 &mid&0 0 & 1 & 2 & 1 &mid&0 0 & 0 & 1 & 2 &mid&5
Aplicamos eliminação:
  1. R2 2R2 - R1
    ;(0,;3,;2,;0mid0).
  2. Usando esse pivô de valor 3 em (2,2), fazemos
    R3 3R3 - R2 resultando em
    (0,0,4,3mid0).
  3. Com pivô 4 em (3,3), fazemos
    R4 4R4 - R3 obtendo
    (0,0,0,5mid20).
Agora temos pivôs principais
pi1=2, pi2=3, pi3=4, pi4=5
em colunas 1,2,3,4. A forma escalonada é
2 & 1 & 0 & 0 &mid&0 0 & 3 & 2 & 0 &mid&0 0 & 0 & 4 & 3 &mid&0 0 & 0 & 0 & 5 &mid&20
Fazendo retro-substituição:
5,t = 20implies t=4,
4,z+3,t=0implies 4z+12=0implies z=-3,
3,y+2,z=0implies 3y-6=0implies y=2,
2,x+y=0implies 2x+2=0implies x=-1

Passo 3

Resolvendo Kx=b. A matriz aumentada é
l[Kmidbr] = 2 & -1 & 0 & 0 &mid&0 -1 & 2 & -1 & 0 &mid&0 0 & -1 & 2 & -1 &mid&0 0 & 0 & -1 & 2 &mid&5
Eliminação:
  1. R2 2R2 + R1 produz
    (0,3,-2,0mid0).
  2. Com pivô 3 em (2,2), R3 3R3 + R2
    (0,0,4,-3mid0).
  3. Com pivô 4 em (3,3), R4 4R4 + R3 resulta em
    (0,0,0,5mid20).
Os pivôs são novamente
pi1=2, pi2=3, pi3=4, pi4=5
nas colunas 1,2,3,4. A forma escalonada é
2 & -1 & 0 & 0 &mid&0 0 & 3 & -2 & 0 &mid&0 0 & 0 & 4 & -3 &mid&0 0 & 0 & 0 & 5 &mid&20
Retro-substituindo:
5,t=20implies t=4,
4,z -3,t=0implies 4z-12=0implies z=3,
3,y -2,z=0implies 3y-6=0implies y=2,
2,x - y=0implies 2x-2=0implies x=1

Resposta

Sistema Ax=b:
Pivôs em (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) com valores 2,3,4,5;
solução ;(x,y,z,t)=(-1,2,-3,4).
Sistema Kx=b:
Pivôs em (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) com valores 2,3,4,5;
solução ;(x,y,z,t)=(1,2,3,4).

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