Determine o ponto do plano
que se encontra mais próximo da origem. Quanto vale a distância mínima correspondente?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um ponto no plano definido pela equação
que esteja mais próximo da origem (o ponto
). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância entre um ponto e um plano.
Passo 2
Para encontrar o ponto mais próximo da origem no plano, a gente pode usar a fórmula da projeção ortogonal. A ideia é que a distância mínima entre a origem e o plano será perpendicular ao plano. A fórmula para a distância
de um ponto
até o plano
é:
No nosso caso, o plano é
, que podemos reescrever como
. Então,
,
,
, e
. A origem é
.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Isso nos dá a distância mínima da origem ao plano.
Passo 4
Agora, para encontrar o ponto específico no plano que está nessa distância mínima, vamos usar a direção do vetor normal ao plano, que é
. O ponto mais próximo será na direção desse vetor a partir da origem.
Para encontrar o ponto
, usamos a fórmula:
Resposta
O ponto do plano
mais próximo da origem é
e a distância mínima correspondente é
.