Determine o ponto do plano x + 2y - z = 4 que se encontra mais próximo da origem. Quanto vale a distância mínima correspondente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um ponto no plano definido pela equação que esteja mais próximo da origem (o ponto ). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Para encontrar o ponto mais próximo da origem no plano, a gente pode usar a fórmula da projeção ortogonal. A ideia é que a distância mínima entre a origem e o plano será perpendicular ao plano. A fórmula para a distância de um ponto até o plano é:
No nosso caso, o plano é , que podemos reescrever como . Então, , , , e . A origem é .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Isso nos dá a distância mínima da origem ao plano.

Passo 4

Agora, para encontrar o ponto específico no plano que está nessa distância mínima, vamos usar a direção do vetor normal ao plano, que é . O ponto mais próximo será na direção desse vetor a partir da origem.
Para encontrar o ponto , usamos a fórmula:

Resposta

O ponto do plano mais próximo da origem é e a distância mínima correspondente é .

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