Calcule, a menos de 0,001 , o valor da integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular, com precisão de 0,001, o valor da integral
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e séries de potências para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser expandido em uma série de potências usando a série de Taylor:
Subtraindo
de 1, temos:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá uma série infinita que representa a função dentro da integral.
Passo 4
Vamos integrar termo a termo de 0 a 1:
Integrando cada termo:
Calculando os termos:
Passo 5
Agora, somamos os termos até que a soma alcance a precisão desejada de 0,001. Vamos calcular os primeiros quatro termos:
Observamos que os termos estão contribuindo cada vez menos para a soma total, e já alcançamos uma precisão maior que 0,001.
Resposta
O valor aproximado da integral
é 0,240.