Calcule, a menos de 0,001 , o valor da integral integral0^1 1-cos xx d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular, com precisão de 0,001, o valor da integral integral0^1 1 - cos xx , dx. Vamos usar conceitos de cálculo integral e séries de potências para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos x pode ser expandido em uma série de potências usando a série de Taylor:
cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots
Subtraindo cos x de 1, temos:
1 - cos x = x^22! - x^44! + x^66! - dots

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados por x:
1 - cos xx = x2! - x^34! + x^56! - dots
Isso nos dá uma série infinita que representa a função dentro da integral.

Passo 4

Vamos integrar termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 1 - cos xx , dx = integral0^1 ( x2! - x^34! + x^56! - dots ) dx
Integrando cada termo:
= 12! cdot 1^22 - 14! cdot 1^44 + 16! cdot 1^66 - dots
Calculando os termos:
= 14 - 196 + 14320 - dots

Passo 5

Agora, somamos os termos até que a soma alcance a precisão desejada de 0,001. Vamos calcular os primeiros quatro termos:
14 = 0,25
- 196 approx -0,0104167 (Total: 0,25 - 0,0104167 = 0,2395833)
+ 14320 approx 0,0002315 (Total: 0,2395833 + 0,0002315 = 0,2398148)
- 1322560 approx -0,0000031 (Total: 0,2398148 - 0,0000031 = 0,2398117)
Observamos que os termos estão contribuindo cada vez menos para a soma total, e já alcançamos uma precisão maior que 0,001.

Resposta

O valor aproximado da integral integral0^1 1 - cos xx , dx é 0,240.

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