Determine o intervalo de convergência das séries abaixo:
x+11+(x+1)^2raiz2+(x+1)^3raiz3+ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da série x+11 + (x+1)^2raiz2 + (x+1)^3raiz3 + ldots. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para achar esse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os termos, percebemos que o n-ésimo termo pode ser escrito como:
an = (x + 1)^nraizn

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge.

Passo 4

Vamos então calcular an+1an:
an+1an = (x + 1)^n+1raizn+1(x + 1)^nraizn = |x + 1| cdot raiznraizn+1
Simplificando, temos:
| an+1an | = |x + 1| cdot raiznn+1

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty |x + 1| cdot raiznn+1 = |x + 1| cdot limn to infty raiznn+1 = |x + 1| cdot 1 = |x + 1|
Isso porque nn+1 tende a 1 quando n cresce.

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x + 1| < 1
Essa desigualdade significa que x + 1 está entre -1 e 1:
-1 < x + 1 < 1
Subtraindo 1 de todos os lados:
-2 < x < 0

Passo 7

Agora, precisamos verificar os pontos extremos x = -2 e x = 0 para ver se a série converge nesses valores.
  • Para x = -2:
an = (-2 + 1)^nraizn = (-1)^nraizn
Isso é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge.
  • Para x = 0:
an = (0 + 1)^nraizn = 1raizn
Essa é uma série do tipo p-série com p = 12. Sabemos que uma p-série converge apenas se p > 1. Como p = 12, a série não converge nesse ponto.

Resposta

O intervalo de convergência da série é [-2, 0).

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