Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(b)
em torno de
(b)
Passo 1
O enunciado pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno do ponto
e especificar o anel (anulus) de convergência dessa expansão.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto de expansão é
. - Precisa-se dos primeiros quatro termos da série de Laurent em potências de
(ou seja, termos de com possivelmente negativos). - Também é pedido o anel de convergência da expansão.
Passo 2
Entendendo o que procurar e o que significa expandir em Laurent aqui.
Uma expansão de Laurent em torno de
é uma representação da forma
válida num anel do tipo
. A parte com
é chamada parte principal; se a função tem um pólo de ordem
em
, então a parte principal tem apenas termos até
(isto é, é finita).
Antes de expandir, identifiquemos a natureza da singularidade em
. Substituindo
no denominador, dá zero e o fator é
, então esperamos um pólo de ordem no máximo 3. Vamos transformar a variável para trabalhar com potências de
de forma direta.
Passo 3
Fazer a mudança
. Assim
é pequeno quando
está próximo de
. Escrevendo tudo em
:
e
Esta é a identidade que vamos manipular para obter os termos da série em potências de
(isto é, de
).
Passo 4
Desenvolver a expressão
em potências de
. Simples álgebra:
Portanto, já temos a expansão em potências de
(isto é, de
): são dois termos com potências negativas. Não surgem termos de potências positivas nem termos de ordem
ou
distintos de zero — os coeficientes correspondentes são nulos.
Passo 5
Escrever os primeiros quatro termos da expansão de Laurent em torno de
, organizados por potências decrescentes (começando pelas potências negativas mais altas):
Os termos correspondem a potências de
. Substituindo
na expressão obtida:
Então, os quatro primeiros termos (contando potências
) são exatamente os listados acima.
Passo 6
Explicar e justificar o anel de convergência.
A série encontrada é na verdade um polinômio em potências negativas (parte principal finita) sem parte regular não-nula em potências não-negativas. Como
só tem singularidade isolada em
(não há outros pontos singulares finitos), essa representação é válida para todo
exceto
. Em termos de anel de convergência isso significa que a expansão é válida para
ou seja, para todos os
tais que
. Em linguagem mais habitual: a expansão é válida na vizinhança pontuada de
que se estende até o infinito (não há outra singularidade finita que limite o raio).
Uma forma alternativa de ver isso: como a parte principal tem grau finito (pólo de ordem 3), não há soma infinita de termos positivos a convergir — a expressão obtida é exata para todo
.
Resposta
Anel de convergência:
(isto é, para todo
).