Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(b) f(z)=z /(z+1)^{3} em torno de z_{0}=-1^{\prime 102}

Passo 1

O enunciado pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z)=\dfrac{z}{(z+1)^{3}} em torno do ponto z_{0}=-1 e especificar o anel (anulus) de convergência dessa expansão.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{z}{(z+1)^{3}}.
  • O ponto de expansão é z_{0}=-1.
  • Precisa-se dos primeiros quatro termos da série de Laurent em potências de (z+1) (ou seja, termos de (z+1)^{k} com k possivelmente negativos).
  • Também é pedido o anel de convergência da expansão.

Passo 2

Entendendo o que procurar e o que significa expandir em Laurent aqui.
Uma expansão de Laurent em torno de z_{0}=-1 é uma representação da forma
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}\,(z+1)^{n},
válida num anel do tipo r<|z+1|<R. A parte com n<0 é chamada parte principal; se a função tem um pólo de ordem m em z_{0}, então a parte principal tem apenas termos até (z+1)^{-m} (isto é, é finita).
Antes de expandir, identifiquemos a natureza da singularidade em z=-1. Substituindo z=-1 no denominador, dá zero e o fator é (z+1)^{3}, então esperamos um pólo de ordem no máximo 3. Vamos transformar a variável para trabalhar com potências de (z+1) de forma direta.

Passo 3

Fazer a mudança w=z+1. Assim w é pequeno quando z está próximo de -1. Escrevendo tudo em w:
z = w-1,
e
f(z)=\dfrac{z}{(z+1)^{3}}=\dfrac{w-1}{w^{3}}.
Esta é a identidade que vamos manipular para obter os termos da série em potências de w (isto é, de (z+1)).

Passo 4

Desenvolver a expressão \dfrac{w-1}{w^{3}} em potências de w. Simples álgebra:
\dfrac{w-1}{w^{3}}=\dfrac{w}{w^{3}}-\dfrac{1}{w^{3}}=w^{-2}-w^{-3}.
Portanto, já temos a expansão em potências de w (isto é, de (z+1)): são dois termos com potências negativas. Não surgem termos de potências positivas nem termos de ordem (-1) ou 0 distintos de zero — os coeficientes correspondentes são nulos.

Passo 5

Escrever os primeiros quatro termos da expansão de Laurent em torno de z_{0}=-1, organizados por potências decrescentes (começando pelas potências negativas mais altas):
Os termos correspondem a potências de (z+1). Substituindo w=z+1 na expressão obtida:
f(z)= -\dfrac{1}{(z+1)^{3}} + \dfrac{1}{(z+1)^{2}} + 0\cdot\dfrac{1}{(z+1)} + 0 + \cdots
Então, os quatro primeiros termos (contando potências (z+1)^{-3},(z+1)^{-2},(z+1)^{-1},(z+1)^{0}) são exatamente os listados acima.

Passo 6

Explicar e justificar o anel de convergência.
A série encontrada é na verdade um polinômio em potências negativas (parte principal finita) sem parte regular não-nula em potências não-negativas. Como f só tem singularidade isolada em z=-1 (não há outros pontos singulares finitos), essa representação é válida para todo z exceto z=-1. Em termos de anel de convergência isso significa que a expansão é válida para
0<|z+1|<\infty,
ou seja, para todos os z tais que z\neq -1. Em linguagem mais habitual: a expansão é válida na vizinhança pontuada de -1 que se estende até o infinito (não há outra singularidade finita que limite o raio).
Uma forma alternativa de ver isso: como a parte principal tem grau finito (pólo de ordem 3), não há soma infinita de termos positivos a convergir — a expressão obtida é exata para todo z\neq -1.

Resposta

-\dfrac{1}{(z+1)^{3}}+\dfrac{1}{(z+1)^{2}}+0\cdot\dfrac{1}{(z+1)}+0+\cdots
Anel de convergência: 0<|z+1|<\infty (isto é, para todo z\neq -1).

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