Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
(a) \sum_{k=3}^{\infty} k z^{k};

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{k=3}^{\infty} k z^{k}
e pede o raio de convergência \rho. Informação relevante que já temos:
  • Os coeficientes da série são a_k=k para k\ge3 (e podemos considerar a_0=a_1=a_2=0 sem alterar o raio).
  • A pergunta é apenas o valor de \rho.

Passo 2

O que é o raio de convergência e como calculá-lo (resumo didático).
  • Para uma série de potências geral \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, o raio de convergência \rho é dado pela fórmula de Cauchy-Hadamard:
\rho = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}}.
  • Alternativamente, quando \lim_{k\to\infty} \left|a_{k+1}/a_k\right| existe, vale também
\rho = \frac{1}{\displaystyle\lim_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| }.
Vou usar a fórmula da limsup (a raiz) porque é direta aqui; também mostro rapidamente a versão da razão para completar.

Passo 3

Aplicando a fórmula da raiz aos coeficientes a_k=k (para grandes k). Precisamos calcular
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = \limsup_{k\to\infty} k^{1/k}.
Agora uma pequena aula sobre o limite k^{1/k}:
  • Tome logaritmo natural para facilitar:
\ln\bigl(k^{1/k}\bigr)=\frac{\ln k}{k}.
  • Como \ln k cresce muito mais devagar que k, temos
\lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{k}=0.
  • Exponenciando, obtemos
\lim_{k\to\infty} k^{1/k} = e^{0} = 1.
Portanto
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = 1.

Passo 4

Usando a fórmula de Cauchy-Hadamard:
\rho = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 5

Breve comentário extra (útil para a prova): a ordem de início da soma (começar em k=3) não altera o raio de convergência; ele depende apenas do comportamento assintótico dos a_k. Também, por consequência:
  • A série converge absolutamente para |z|<1.
  • A série diverge para |z|>1.
  • A convergência em |z|=1 precisa de testes adicionais ponto a ponto (não faz parte do pedido do enunciado).

Resposta

\rho=1

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