Calcule m de modo que o tetraedro A B C D tenha volume 2 / 3, sendo A B=(1,1, m)E, A C= (0,1,1)E e A D=(-4,0,0)E e E é uma base ortonormal dextrógira.

Passo 1

O enunciado nos dá um tetraedro ABCD em que os vetores a partir de A são
AB=(1,1,m), AC=(0,1,1) e AD=(-4,0,0) na base E ortonormal dextrógira, e pede m tal que o volume seja 2/3. O conteúdo aqui é o uso do produto misto (ou determinante) para calcular volume de tetraedro:
V = 16l|detl[AB,AC,ADr]r|

Passo 2

Igualando à condição V=2/3, temos
16l|detl[AB,AC,ADr]r| = 23 Longrightarrow l|detl[AB,AC,ADr]r| = 4

Passo 3

Vamos calcular o produto misto det[AB,AC,AD] como
ABcdotl(ACtimesADr)
Primeiro,
ACtimesAD = i&j&k 0&1&1 -4&0&0 =(0,-4,4)

Passo 4

Em seguida,
ABcdot(0,-4,4) =(1,1,m)cdot(0,-4,4) =-4+4m
Logo o determinante vale ,4m-4, e a condição de volume fica
|4m-4|=4

Passo 5

Resolvendo |4m-4|=4, temos duas possibilidades:
4m-4=4implies m=2, 4m-4=-4implies m=0

Resposta

m=0 ou m=2

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