Encontre m, sabendo que A=(1,3, m), B=(4,1,0) e C=(2,3, m) são vértices de um triângulo de área 5/2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de m de modo que os pontos A=(1,3,m), B=(4,1,0) e C=(2,3,m) formem um triângulo com área igual a 5/2. O conteúdo da matéria aqui é área de triângulo em espaço 3D usando vetores e o produto vetorial; vamos precisar da definição de produto vetorial e da fórmula área = tfrac12|ABtimesAC|á.

Passo 2

Primeiro, montamos os vetores AB e AC. Subtraindo coordenadas:
AB = B - A = (4-1,;1-3,;0-m) = (3,,-2,,-m)
AC = C - A = (2-1,;3-3,;m-m) = (1,;0,;0)

Passo 3

Agora, lembrando que o produto vetorial de u=(u1,u2,u3) por v=(v1,v2,v3) é
utimesv = (u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1)
usamos isso em ABtimesAC:
ABtimesAC = ( (-2)cdot0 - (-m)cdot0,;(-m)cdot1 - 3cdot0,;3cdot0 - (-2)cdot1 ) = (0,,-m,,2)

Passo 4

Agora calculamos a magnitude desse vetor:
|ABtimesAC| = raiz0^2 + (-m)^2 + 2^2 = raizm^2 + 4

Passo 5

Como a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial, temos:
12|ABtimesAC| = 12raizm^2+4 = 52
Isso implica:
raizm^2+4 = 5
Elevando ao quadrado:
m^2 + 4 = 25
Logo:
m^2 = 21

Passo 6

Resolvendo para m, obtemos duas soluções que satisfazem a área positiva:

Passo 7

m = pmraiz21

Resposta

m = pmraiz21

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