Sabendo que E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal e que f1=(a, 1,1)E, f2=(1, a, 1)E e f3=(1,1, a)E, para quais valores de a os vetores f1, f2, f3 formam uma base? (Dica: as raizes da equação x^3-3 x+2=0 são x=1 e x=-2 )

Passo 1

Resumo da questão: a gente tem três vetores dados na base ortonormal E, são vec f1=(a,1,1)E, vec f2=(1,a,1)E e vec f3=(1,1,a)E. A pergunta é: para quais valores de a esses vetores formam uma base de R^3? Isso envolve linearidade e determinante.

Passo 2

Pra ver se esses três vetores formam base, precisamos checar se eles são linearmente independentes. Num espaço de dimensão 3, independência deles equivale a o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de vec f1,vec f2,vec f3 ser diferente de zero. Então vamos montar essa matriz.

Passo 3

A matriz M cujas colunas são as coordenadas de vec f1,vec f2,vec f3 é:
M= a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a

Passo 4

Agora a gente calcula o determinante de M. Vou usar a regra de Sarrus (ou o desenvolvimento clássico) para ver direitinho:
det(M)=acdot acdot a , + ,1cdot1cdot1 , + ,1cdot1cdot1 , - ,1cdot acdot1 , - ,1cdot1cdot a , - ,acdot1cdot1
Calculando cada parte:
a^3 +1+1 -a -a -a = a^3 -3a +2

Passo 5

Para que os vetores formem uma base, a gente precisa de det(M)neq0. Então precisa que
a^3 -3a +2 neq 0
Note que esse polinômio fatora como
a^3 -3a +2 = (a-1)^2,(a+2),
pois as raízes (dadas pela dica) são a=1 (com multiplicidade 2) e a=-2. Portanto ele zera exatamente nesses valores.

Passo 6

Conclusão: para ter base, a gente exige det(M)neq0, isto é, a diferente das raízes. Ou seja, aneq1 e aneq-2.

Resposta

Os vetores formam uma base se, e somente se, aneq1 e aneq-2.

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