Seja V=R^2. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de R^2 :
W=(x, y) in R^2: x+3 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y)in R^2 mid x + 3y = 0
é um subespaço de R^2.
Para isso, lembramos a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a W. Substituindo na condição x+3y=0, temos
0 + 3cdot 0 = 0,
logo (0,0)in W.

Passo 3

Mostramos a clausura sob adição. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) dois vetores em W. Então
x1 + 3y1 = 0 e x2 + 3y2 = 0
Ao somar os dois vetores obtemos (x1 + x2,,y1 + y2). Verificamos a condição:
(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (x1 + 3y1) + (x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0
Portanto (x1+x2,,y1+y2)in W.

Passo 4

Mostramos a clausura sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e (x,y)in W, isto é, x+3y=0. O múltiplo escalar é (alpha x,alpha y). Então
alpha x + 3(alpha y) = alpha,(x+3y) = alpha cdot 0 = 0,
logo (alpha x,alpha y)in W.

Resposta

W satisfaz todas as propriedades de subespaço de R^2, portanto W é um subespaço de R^2.

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