Seja V=R^2. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de R^2 :
W=(x, y) in R^2: y=a x, a in R;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^2 e o conjunto
W=(x,y)inR^2:y=a x para algum ainR
Queremos verificar se W é subespaço de R^2, ou seja, se contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro se o vetor zero está em W. Tomando (x,y)=(0,0), temos y=0=acdot 0 para qualquer a. Logo,
(0,0)in W

Passo 3

Testamos a fechamento sob adição. Escolha dois vetores em W:
u=(1,1), v=(-1,1)
Para u, basta a=1 em y=ax; para v, basta a=-1. Assim u,vin W. Mas
u+v = (1,1)+(-1,1) = (0,2)
Se (0,2) pertencesse a W, existiría a tal que 2 = acdot 0, o que é impossível. Portanto
u+vnotin W
e W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço de R^2.

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