Calcule o módulo e o conjugado do número complexo z=\frac{1-2 i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}. Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
z = \frac{1-2i}{1+i} + \frac{2 - i}{1 - i}
e, em seguida, determinar o conjugado \overline{z} e o módulo \lvert z\rvert. Vamos usar a conjugação de denominadores para simplificar as frações e depois aplicar as fórmulas
\overline{a+bi} = a - bi \quad\text{e}\quad \lvert a+bi\rvert = \sqrt{a^2 + b^2}.

Passo 2

Simplificamos a primeira fração multiplicando numerador e denominador por 1 - i:
\frac{1-2i}{1+i} = \frac{(1-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i -2i +2i^2}{1 - i^2} = \frac{1 -3i -2}{1 - (-1)} = \frac{-1 -3i}{2} = -\frac12 - \frac32\,i.

Passo 3

De modo análogo, simplificamos a segunda fração multiplicando por 1 + i:
\frac{2 - i}{1 - i} = \frac{(2 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 +2i - i - i^2}{1 - (-1)} = \frac{2 + i +1}{2} = \frac{3 + i}{2} = \frac32 + \frac12\,i.

Passo 4

Agora somamos os resultados:
z = \Bigl(-\tfrac12 - \tfrac32\,i\Bigr) + \Bigl(\tfrac32 + \tfrac12\,i\Bigr) = \bigl(-\tfrac12 + \tfrac32\bigr) + \bigl(-\tfrac32 + \tfrac12\bigr)i = 1 - i.

Passo 5

O conjugado de z = 1 - i é
\overline{z} = 1 + i.

Passo 6

O módulo de z = 1 - i é
\lvert z\rvert = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.

Resposta

\overline{z} = 1 + i \lvert z\rvert = \sqrt{2}

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