Q2. Seja f(z)=\frac{(z+i)}{\left(z^{3}+z \bar{z}\right)}.
Avalie se a função é derivável em algum domínio e no caso positivo determine esse domínio.
Obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define
f(z)=\frac{z+i}{\,z^3+z\bar z\,}
e pergunta se há algum domínio aberto onde f seja holomorfa (i.e.\ derivável no sentido complexo), e, em caso positivo, determinar esse domínio, obter a regra de derivação e calcular o valor da derivada em um ponto. Para decidir se f é holomorfa usamos a abordagem dos derivados de Wirtinger, ou equivalentemente as equações de Cauchy–Riemann na forma \partial f/\partial\bar z=0.
Passo 2
Escrevemos f como quociente de duas funções de (z,\bar z):
Mas em z=0 o denominador V(0)=0^3+0\cdot\overline{0}=0, então f não está nem definida em 0. Sobrou apenas z=-i, onde
V(-i)=(-i)^3+(-i)\,\overline{(-i)}=i+1\neq0,
então f está definida em -i e satisfaz \partial f/\partial\bar z=0 ali. Concluímos que não existe domínio aberto onde f seja holomorfa, pois a única solução é o ponto isolado z=-i.
Passo 4
Mesmo não havendo domínio aberto de holomorfia, podemos calcular a derivada complexa de f em z=-i por