Q2. Seja f(z)=\frac{(z+i)}{\left(z^{3}+z \bar{z}\right)}.
Avalie se a função é derivável em algum domínio e no caso positivo determine esse domínio.
Obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
f(z)=\frac{z+i}{\,z^3+z\bar z\,}
e pergunta se há algum domínio aberto onde f seja holomorfa (i.e.\ derivável no sentido complexo), e, em caso positivo, determinar esse domínio, obter a regra de derivação e calcular o valor da derivada em um ponto. Para decidir se f é holomorfa usamos a abordagem dos derivados de Wirtinger, ou equivalentemente as equações de Cauchy–Riemann na forma \partial f/\partial\bar z=0.

Passo 2

Escrevemos f como quociente de duas funções de (z,\bar z):
U(z,\bar z)=z+i, \qquad V(z,\bar z)=z^3+z\bar z.
Sabendo que
\frac{\partial}{\partial\bar z}\biggl(\frac{U}{V}\biggr) =\frac{V\,\frac{\partial U}{\partial\bar z}-U\,\frac{\partial V}{\partial\bar z}}{V^2},
calculamos \partial U/\partial\bar z=0 (pois U não depende de \bar z) e \partial V/\partial\bar z=z. Logo
\frac{\partial f}{\partial\bar z} =-\frac{U\,z}{V^2} =-\frac{z\,(z+i)}{\bigl(z^3+z\bar z\bigr)^2}.

Passo 3

Para f ser holomorfa num ponto precisamos ter \partial f/\partial\bar z=0 nesse ponto e V\neq0. Igualando o numerador a zero:
z\,(z+i)=0 \quad\Longrightarrow\quad z=0 \quad\text{ou}\quad z=-i.
Mas em z=0 o denominador V(0)=0^3+0\cdot\overline{0}=0, então f não está nem definida em 0. Sobrou apenas z=-i, onde
V(-i)=(-i)^3+(-i)\,\overline{(-i)}=i+1\neq0,
então f está definida em -i e satisfaz \partial f/\partial\bar z=0 ali. Concluímos que não existe domínio aberto onde f seja holomorfa, pois a única solução é o ponto isolado z=-i.

Passo 4

Mesmo não havendo domínio aberto de holomorfia, podemos calcular a derivada complexa de f em z=-i por
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{V\,\frac{\partial U}{\partial z}-U\,\frac{\partial V}{\partial z}}{V^2}.
Aqui \partial U/\partial z=1 e \partial V/\partial z=3z^2+\bar z. Logo
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{(z^3+z\bar z)\cdot1-(z+i)\,(3z^2+\bar z)}{(z^3+z\bar z)^2}.
Em z=-i temos U(-i)=(-i)+i=0 e V(-i)=1+i, então
f'(-i) =\frac{V(-i)}{[V(-i)]^2} =\frac{1+i}{(1+i)^2} =\frac{1+i}{2i} =\frac{1-i}{2}.

Resposta

Não há domínio aberto onde f seja holomorfa; apenas em z=-i ocorre \partial f/\partial\bar z=0 e f está definida ali. A derivada em z=-i vale
f'(-i)=\frac{1-i}{2}.

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