Os focos da elipse 3 x^{2}+4 y^{2}-36 x-24 y+96=0 säo
Escolha uma opção:
O a. F_{1}=(-4,-3) e F_{2}=(-8,-3)
b. F_{1}=(-4,3) e F_{2}=(-8,3)
c. F_{1}=(3,-4) e F_{2}=(3,-8)
O d. F_{1}=(3,4) e F_{2}=(3,8)
e. F_{1}=(-3,-4) e F_{2}=(-3,-8)
f. F_{1}=(4,3) e F_{2}=(8,3)

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
3x^{2}+4y^{2}-36x-24y+96=0
e pede os focos. Para isso, vamos reescrever a equação em sua forma canônica, completando quadrados. Precisamos encontrar o centro (h,k), os semieixos a e b, e então calcular a distância focal c.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos os quadrados:
3\bigl(x^{2}-12x\bigr)+4\bigl(y^{2}-6y\bigr)+96=0.
Dentro de cada parêntese, adicionamos e subtraímos o termo que completa o quadrado:
x^{2}-12x+36-36, \quad y^{2}-6y+9-9.
Logo,
3\bigl[(x-6)^{2}-36\bigr]+4\bigl[(y-3)^{2}-9\bigr]+96=0.

Passo 3

Distribuindo e reorganizando:
3(x-6)^{2}-108+4(y-3)^{2}-36+96=0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-6)^{2}+4(y-3)^{2}=48.
Dividindo por 48:
\frac{(x-6)^{2}}{16} + \frac{(y-3)^{2}}{12} = 1.
Aqui o centro é (h,k)=(6,3), o semieixo maior a=4 (pois 16=4^{2}) está ao longo de x e o semieixo menor b=\sqrt{12}=2\sqrt{3} ao longo de y.

Passo 4

Para elipse com eixo maior em x, a distância focal satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-12=4 \quad\Longrightarrow\quad c=2.
Os focos ficam então em
(h\pm c,\;k) = (6\pm 2,\;3),
ou seja, em (4,3) e (8,3), que correspondem à opção f.

Resposta

f

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