Seja a função definida abaixo. Identifique suas partes real e imaginária em função das partes real e imaginária de z. Identifique o domínio da função e se possível calcule o valor da função no ponto Z_{0}=-1-i. Justifique sua resposta.
f(z)=\frac{i(\bar{z}-1) \cdot \operatorname{Im}(z)}{\|\operatorname{lm}(z)-i\|^{2}}

Passo 1

Resumindo: temos a função
f(z)=\frac{i\,(\overline{z}-1)\,\Im(z)}{\|\Im(z)-i\|^{2}}
e queremos (1) escrever as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) em termos de x=\Re(z) e y=\Im(z), (2) identificar o domínio de f e (3) calcular f(z_{0}) em z_{0}=-1-i. O conteúdo é análise de funções de variável complexa, usando a decomposição z=x+iy.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy e \overline{z}=x-iy, temos:
\overline{z}-1 = (x-1)-i\,y,
\Im(z)=y.
Agora o denominador é
\|\Im(z)-i\|^{2} = |\,y - i\,|^{2} = y^{2} + (-1)^{2} = y^{2}+1.

Passo 3

Calculamos o numerador:
i\,(\overline{z}-1)\,\Im(z) = i\bigl((x-1)-i\,y\bigr)\,y = \bigl[i(x-1)-i^{2}y\bigr]\,y = \bigl[i(x-1)+y\bigr]\,y = y^{2} \;+\; i\,y\,(x-1).
Logo
f(z) = \frac{y^{2} + i\,y\,(x-1)}{y^{2}+1} = \frac{y^{2}}{y^{2}+1} \;+\; i\,\frac{y\,(x-1)}{y^{2}+1}.
Dessa forma
u(x,y)=\frac{y^{2}}{y^{2}+1}, \qquad v(x,y)=\frac{y\,(x-1)}{y^{2}+1}.

Passo 4

O denominador y^{2}+1 nunca se anula (é sempre >0 para todo y\in\mathbb{R}). Portanto o domínio de f é todo o plano complexo:
\Dom(f)=\mathbb{C}.

Passo 5

Para z_{0}=-1-i temos x_{0}=-1 e y_{0}=-1. Então
u(x_{0},y_{0}) =\frac{(-1)^{2}}{(-1)^{2}+1} =\frac{1}{2}, \qquad v(x_{0},y_{0}) =\frac{(-1)\,((-1)-1)}{2} =\frac{-1\cdot(-2)}{2} =1.
Logo
f(z_{0}) =\frac12 \;+\; i.

Resposta

Parte real: u(x,y)=\dfrac{y^{2}}{y^{2}+1}.
Parte imaginária: v(x,y)=\dfrac{y\,(x-1)}{y^{2}+1}.
Domínio: \mathbb{C}.
Valor em z_{0}=-1-i:
f(z_{0})=\frac12 + i.

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