Seja a função definida abaixo. Identifique suas partes real e imaginária em função das partes real e imaginária de z. Identifique o domínio da função e se possível calcule o valor da função no ponto
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Resumindo: temos a função
e queremos (1) escrever as partes real
e imaginária
em termos de
e
, (2) identificar o domínio de
e (3) calcular
em
. O conteúdo é análise de funções de variável complexa, usando a decomposição
.
Passo 2
Escrevendo
e
, temos:
Agora o denominador é
Passo 3
Calculamos o numerador:
Logo
Dessa forma
Passo 4
O denominador
nunca se anula (é sempre
para todo
). Portanto o domínio de
é todo o plano complexo:
Passo 5
Para
temos
e
. Então
Logo
Resposta
Parte real:
.
Parte imaginária: .
Domínio: .
Valor em :
Parte imaginária:
Domínio:
Valor em