Sendo x^{2}+y^{2}=1, prove que \frac{1+x+i y}{1+x-i y}=x+i y.

Passo 1

O enunciado dá a condição \;x^{2}+y^{2}=1\; e pede para provar a igualdade
\frac{1+x+i y}{1+x-i y}=x+i y.
Informações relevantes que temos:
  • x e y são números reais.
  • A condição \;x^{2}+y^{2}=1\; significa que o ponto (x,y) está no círculo unitário.
  • A expressão a ser provada envolve números complexos: o numerador é 1+x+iy e o denominador é 1+x-iy.
  • Precisamos cuidar do caso em que o denominador é zero (isto ocorre se e somente se 1+x=0 e y=0, ou seja em x=-1,y=0), porque aí a fração não está definida. Vou explicar isso quando for relevante.
    A resolução conecta a álgebra de números complexos e a propriedade x^{2}+y^{2}=1. A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Introduzo o número complexo
z = x + i y.
Explico os conceitos usados:
  • A conjugada de z é \overline{z} = x - i y.
  • O módulo de z é |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Uma propriedade básica é
z\overline{z}=|z|^{2} = x^{2}+y^{2}.
Aqui tudo é direto: multiplicando x+iy por x-iy elimina a parte imaginária e sobra x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Uso a condição dada \;x^{2}+y^{2}=1\;. Em termos de z isso fica
z\overline{z}=1.
Como z\overline{z}=1, podemos escrever
\overline{z}=\frac{1}{z},
desde que z\neq 0. Observe que z=0 não ocorre aqui porque x^{2}+y^{2}=1 implica |z|=1\neq 0. Portanto a igualdade \overline{z}=1/z é válida para todos os pontos do círculo unitário.

Passo 4

Reescrevo a expressão que queremos provar usando z e \overline{z}:
\frac{1+x+iy}{1+x-iy}=\frac{1+z}{1+\overline{z}}.
Agora uso a relação \overline{z}=1/z. Substituindo obtenho
\frac{1+z}{1+\overline{z}}=\frac{1+z}{1+\dfrac{1}{z}}.

Passo 5

Faço a simplificação algébrica passo a passo (mostrando cada operação clara):
\frac{1+z}{1+\dfrac{1}{z}} = \frac{1+z}{\dfrac{z+1}{z}}
(note que passei o denominador para uma fração única),
= (1+z)\cdot\frac{z}{z+1}.
Agora observo que z+1 é igual a 1+z, então podemos cancelar 1+z com z+1 (isto é permitido desde que z+1\neq 0; mais abaixo trato esse caso). Assim
(1+z)\cdot\frac{z}{z+1}=z.

Passo 6

Concluo então que, sempre que a fração original estiver bem definida (ou seja, quando 1+x-iy\neq 0, equivalente a z\neq -1), vale
\frac{1+x+iy}{1+x-iy}=z = x+iy.
Agora trato o caso excepcional: se z=-1 (ou seja x=-1, y=0), então tanto o numerador 1+x+iy quanto o denominador 1+x-iy são zero, e a expressão \dfrac{0}{0} é indeterminada, portanto a fração não está definida ali. O enunciado normalmente supõe o caso onde a divisão faz sentido; para todos os outros pontos do círculo unitário a identidade está provada.

Resposta

x+i y

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