Sendo
, prove que
.
Passo 1
O enunciado dá a condição
e pede para provar a igualdade
Informações relevantes que temos:
-
e são números reais. - A condição
significa que o ponto está no círculo unitário. - A expressão a ser provada envolve números complexos: o numerador é
e o denominador é . - Precisamos cuidar do caso em que o denominador é zero (isto ocorre se e somente se
e , ou seja em ), porque aí a fração não está definida. Vou explicar isso quando for relevante.
A resolução conecta a álgebra de números complexos e a propriedade. A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Introduzo o número complexo
Explico os conceitos usados:
- A conjugada de
é . - O módulo de
é . - Uma propriedade básica é
Aqui tudo é direto: multiplicando
por
elimina a parte imaginária e sobra
.
Passo 3
Uso a condição dada
. Em termos de
isso fica
Como
, podemos escrever
desde que
. Observe que
não ocorre aqui porque
implica
. Portanto a igualdade
é válida para todos os pontos do círculo unitário.
Passo 4
Reescrevo a expressão que queremos provar usando
e
:
Agora uso a relação
. Substituindo obtenho
Passo 5
Faço a simplificação algébrica passo a passo (mostrando cada operação clara):
(note que passei o denominador para uma fração única),
Agora observo que
é igual a
, então podemos cancelar
com
(isto é permitido desde que
; mais abaixo trato esse caso). Assim
Passo 6
Concluo então que, sempre que a fração original estiver bem definida (ou seja, quando
, equivalente a
), vale
Agora trato o caso excepcional: se
(ou seja
), então tanto o numerador
quanto o denominador
são zero, e a expressão
é indeterminada, portanto a fração não está definida ali. O enunciado normalmente supõe o caso onde a divisão faz sentido; para todos os outros pontos do círculo unitário a identidade está provada.