Calcule o módulo das seguintes expressões:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede calcular a expressão
sabendo que
e
são inteiros, isto é: determinar a forma simplificada de
para
. Informações dadas:
-
. -
. - A tarefa é escrever
de maneira equivalente e clara, indicando eventuais restrições de existência (casos onde a potência não está definida).
Passo 2
Entender a propriedade básica do valor absoluto: para qualquer número real
vale
Explicação didática (duas maneiras, escolha a que preferir na hora da prova):
- Prova por definição peça-a-por-peça: se
então e ; se então e — em ambos os casos obtém-se o mesmo valor, logo . - Prova por quadrado/raiz:
, então .
Aplicando isso ao nosso
, obtemos
Passo 3
Agora, para
inteiro não-negativo (
), elevar ambos os lados da igualdade ao expoente
preserva a igualdade (pois estamos elevando números não-negativos à mesma potência). Assim, para
vale diretamente
Observação prática: isso cobre o caso mais comum em provas (expoentes naturais).
Passo 4
Tratar o caso
. Regra de potências: para qualquer base
tem-se
. Portanto, se
,
Cuidado especial: se
então
, e
é uma expressão indeterminada em análise elementar (não é usualmente definida). Logo para
a igualdade faz sentido e vale quando
; para
não se atribui valor a
no contexto padrão.
Passo 5
Tratar o caso
negativo. Escreva
com
. Então, por definição de potências inteiras negativas,
Usando
do Passo 2, isso vira
Aqui é crucial que
, isto é,
, porque caso
a potência com expoente negativo envolve divisão por zero e não está definida. Portanto, para
a igualdade vale sempre que
.
Passo 6
Juntando todos os casos:
- Se
: para todo . - Se
: para todo com ; para a expressão é indeterminada. - Se
: para todo com ; para a potência é indefinida.
Portanto a igualdade algébrica simples é válida sempre que as potências estão definidas.