Calcule o módulo das seguintes expressões:
e) \forall a, n \in \mathbb{Z},|-a|^{n}=

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão |-a|^{n} sabendo que a e n são inteiros, isto é: determinar a forma simplificada de |-a|^{n} para a,n\in\mathbb{Z}. Informações dadas:
  • a\in\mathbb{Z}.
  • n\in\mathbb{Z}.
  • A tarefa é escrever |-a|^{n} de maneira equivalente e clara, indicando eventuais restrições de existência (casos onde a potência não está definida).

Passo 2

Entender a propriedade básica do valor absoluto: para qualquer número real x vale
|{-}x| = |x|.
Explicação didática (duas maneiras, escolha a que preferir na hora da prova):
  • Prova por definição peça-a-por-peça: se x\ge 0 então |x|=x e |{-}x|=-x=x; se x<0 então |x|=-x e |{-}x|=-(-x)=x=-x — em ambos os casos obtém-se o mesmo valor, logo |{-}x|=|x|.
  • Prova por quadrado/raiz: |x|=\sqrt{x^{2}}, então |{-}x|=\sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{x^{2}}=|x|.
Aplicando isso ao nosso a, obtemos
|{-}a| = |a|.

Passo 3

Agora, para n inteiro não-negativo ( n\ge 0), elevar ambos os lados da igualdade ao expoente n preserva a igualdade (pois estamos elevando números não-negativos à mesma potência). Assim, para n\in\mathbb{Z}_{\ge 0} vale diretamente
|{-}a|^{n} = |a|^{n}.
Observação prática: isso cobre o caso mais comum em provas (expoentes naturais).

Passo 4

Tratar o caso n=0. Regra de potências: para qualquer base b\neq 0 tem-se b^{0}=1. Portanto, se a\neq 0,
|{-}a|^{0}=1=|a|^{0}.
Cuidado especial: se a=0 então |{-}a|^{0}=0^{0}, e 0^{0} é uma expressão indeterminada em análise elementar (não é usualmente definida). Logo para n=0 a igualdade faz sentido e vale quando a\neq 0; para a=0 não se atribui valor a 0^{0} no contexto padrão.

Passo 5

Tratar o caso n negativo. Escreva n=-k com k\in\mathbb{Z}_{>0}. Então, por definição de potências inteiras negativas,
|{-}a|^{n} = |{-}a|^{-k} = \frac{1}{|{-}a|^{k}}.
Usando |{-}a|=|a| do Passo 2, isso vira
\frac{1}{|{-}a|^{k}}=\frac{1}{|a|^{k}}=|a|^{-k}=|a|^{n}.
Aqui é crucial que |a|\neq 0, isto é, a\neq 0, porque caso a=0 a potência com expoente negativo envolve divisão por zero e não está definida. Portanto, para n<0 a igualdade vale sempre que a\neq 0.

Passo 6

Juntando todos os casos:
  • Se n>0: |{-}a|^{n}=|a|^{n} para todo a\in\mathbb{Z}.
  • Se n=0: |{-}a|^{0}=|a|^{0}=1 para todo a\in\mathbb{Z} com a\neq 0; para a=0 a expressão 0^{0} é indeterminada.
  • Se n<0: |{-}a|^{n}=|a|^{n} para todo a\in\mathbb{Z} com a\neq 0; para a=0 a potência é indefinida.
Portanto a igualdade algébrica simples é válida sempre que as potências estão definidas.

Resposta

|{-}a|^{n}=|a|^{n} (valendo para todos a,n\in\mathbb{Z} sempre que a potência esteja definida; em particular, para n>0 vale para todo a, e para n\le 0 exige a\neq 0).

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