Calcule o módulo das seguintes expressões:
g) \forall n \in \mathbb{Z}, n>0,|n-\sqrt[n]{2}|=
Passo 1
O enunciado pede para calcular o módulo (valor absoluto) de
\left|n-\sqrt[n]{2}\right|
para todo n\in\mathbb{Z} com n>0. Ou seja, para cada inteiro positivo n devemos dar o valor numérico da expressão acima.
Passo 2
Lembraremos o que é módulo (valor absoluto). Para qualquer número real x\) vale:
\[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos saber o sinal de
n-\sqrt[n]{2}.
Se n-\sqrt[n]{2}\ge 0\] então \(\left|n-\sqrt[n]{2}\right|=n-\sqrt[n]{2}. Se n-\sqrt[n]{2}<0 então \left|n-\sqrt[n]{2}\right|=\sqrt[n]{2}-n.]
Passo 3
Para decidir o sinal de n-\sqrt[n]{2} vamos comparar n com \sqrt[n]{2}. Como ambos são positivos, podemos elevar ambos os lados à potência n (a função x\mapsto x^n é estritamente crescente em (0,\infty) quando n é inteiro positivo), obtendo a equivalência:
n>\sqrt[n]{2}\quad\Longleftrightarrow\quad n^n>2,
e
n<\sqrt[n]{2}\quad\Longleftrightarrow\quad n^n<2.
Passo 4
Agora analisamos n^n para n\in\mathbb{Z}_{>0}.
Se n=1 então n^n=1^1=1<2. Portanto para n=1 temos 1<\sqrt[1]{2}=2, ou seja n-\sqrt[n]{2}<0.
Se n\ge 2 então n^n\ge 2^2=4>2. Logo para todo n\ge 2 vale n^n>2, o que implica n>\sqrt[n]{2}, ou seja n-\sqrt[n]{2}>0.
Portanto o sinal é negativo somente no caso n=1 e é positivo para todo n\ge 2.
Passo 5
Aplicando a definição do módulo com o resultado do passo anterior:
Para n=1:
\left|1-\sqrt[1]{2}\right|=\left|1-2\right|=1.
Para n\ge 2:
\left|n-\sqrt[n]{2}\right|=n-\sqrt[n]{2}.
Como verificação rápida: para n=2 isso dá |2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\approx0,586, condizente com a conclusão.
Resposta
\left|1-\sqrt[1]{2}\right|=1 \left|n-\sqrt[n]{2}\right|=n-\sqrt[n]{2} para todo n\ge 2